微积分知识点总结Word文档格式.docx
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f
1/10
w
x
根据下列图示,写出复合函数的所有链式求导法则:
(做题时,一次可能只会用到一个---用到那个就写那个,不必全部写出了.)
zfufv
2/10
f1'
u
f1'
f2'
f2'
分段用乘,分叉用加.y
y(简单!
)
(因为图中:
红色线段有3条;
蓝色线段只有2条.
3/10
虽然只少了一条,但对做题过程的影响却非常大.从
最后一题的解题过程中就能看出来.)
f1'
f1'
v
xxvx
yvy
三、1.(11-7)已知函数zf(x
y,xy),其中f具有二阶连续的偏导数,
2z
求xy.
4/10
解:
本题考查的知识点是:
多元复合函数的高阶偏导数
设uxy,vxy,(这两个属于具体函数)
则zfu,v⑴(这个属于抽象函数)
对⑴式,把y看作常数,由链式法则得(下一步:
遇到抽象函数,写
出它的“记号”即可;
遇到具体函数,求出它的偏导数.最后一步:
在抽象函数的记号后面标出它的“自变量”---因为求二阶偏导数时,需要知道它的“自变量”
有几个,各是“啥”?
,这样,后面做题时,就会“一目了然”
.)
1
'
1
y
⑵
对⑵
式,把x看作常数,由链式法则和函数的和、积求导法则得:
)f2
y(
2
xy
(
5/10
f111
f12x
f2
y(f21
1f22x)
f11
xf12
f2
yf21
xyf22
(x
y)f12f2
注:
f1
f1
u,v
fuu,v
(这些记号都是为抽象函数准备的!
)
fvu,v
v(具体函数不需要这些记号!
f1
;
f22
fffv
ffv
分段用乘,分叉用加.yvy(简单)
三、1.(07-7)
设z
xfx,y
,其中f具有连续二阶偏导数,
2z2z
求yx和xy.
6/10
设vx,(这个属于具体函数)
则zxfx,v
⑴(这里面既有具体函数又有抽象函数
---其
中,x为具体函数;
f
x,v为抽象函数.)
y(下面用到的就是这一个)
先求yx
对
⑴式,把x看作常数,由链式法则和函数的求导法则
⑵得:
xf2
f2f2x,v
7/10
x(下面用到的就是这一个)
对⑵式,把y看作常数,由链式法则和函数的求导法则得:
f21
f22
x2
y2f22
yx
设v
,
(这个属于具体函数)
则zxfx,v⑴(这里面既有具体函数又有抽象函数)
再求xy
对⑴式,把y看作常数,由链式法则和函数求导法则得:
fx,vxf1
fx,v
x2
fx,vxfx,v
x,v
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yvy(下面用到的就是这一个)
f2f2v
对⑵式,把x看作常数,由链式法则和函数的求导法则得:
xf12
1f2
yf22
f12
f22
y2
比较y
x和
xy的求解过程,可以看出:
yx比
xy的求解过程要
9/10
简单得多.
这是因为在中,y的关系简单.
二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无
关,所以就可以自由选择次序---优先选择关系少
的变量(在本题中,显然y的关系少,这样优先
选择y就会简单的多.)!
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