平面内失稳Word文档格式.docx

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（5.2）

引入边界条件

、

得到

，B=0，则

（5.3）

（5.4）

对梁BC，由于不计梁中轴线压力，平衡方程为

（5.5）

通解为

（5.6）

由边界条件

和

，得到

，则

（5.7）

（5.8）

根据节点B变形协调条件

（5.9）

式（5.9）中

，以

、梁与柱线刚度比

代入后可得刚架的屈曲方程

（5.10）

若求出的临界荷载

用计算长度系数

的函数形式表示，即

，知

，则式（5.10）为

（5.11）

当确定梁与柱线刚度比

后，由式（5.11）解出计算长度系数

，从而求得失稳荷载

。

例如：

（1）当横梁的线刚度接近于零时，

相当于两端铰接,则

，有

（2）当横梁的线刚度为无限大时，

，相当于一端铰接、一端固定，

（3）当

时，由

，经过试算可得

对不同的

5.2位移法求解框架的弹性失稳荷载

承受节点荷载作用的框架，当荷载达到临界值时，可能产生弯曲变形，并在新的变形状态下维持平衡，用位移法求解临界荷载时，首先应确定考虑轴向力效应的转角位移方程，之后根据位移法形成稳定方程。

5.2.1无侧移弹性压弯构件的转角位移方程

对图5.5所示无侧移的压弯构件，通过建立平衡微分方程，引入边界条件后得到挠曲线方程

（5.12）

则

构件两端转角分别是

（5.13）

（5.14）

联立式（5.13）和式（5.14），以

为未知量可以得到压弯构件的转角位移方程

（5.15）

（5.16）

为欧拉临界力，

称为构件的线刚度；

；

均称为抗弯刚度；

为抗弯刚度系数，也称为稳定系数，且有

（5.17）

从式（5.17）中可以看出，

均是

的函数，当已知

后，可以得到

为计算方便，将它们之间的函数关系列成表5.1便于查用。

图5.5无侧移压弯构件

表5.1抗弯刚度系数C和S

续表5.1抗弯刚度系数C和S

5.2.2有侧移弹性压弯构件的转角位移方程

对图5.6所示有相对侧移

的压弯构件，用类似的推导可以得到其转角位移方程为

（5.18）

（5.19）

图5.6有侧移压弯构件

5.2.3单层单跨框架的弹性失稳荷载

对图5.7所示下端铰接的单层单跨框架，失稳时柱顶侧移而形成反对称屈曲变形，将框架分解成图5.7（b）所示隔离体，柱侧移角

，左柱的线刚度

，横梁线刚度记

。

图5.7柱脚铰接的有侧移单层单跨框架

左柱的转角位移方程为

，得

（5.20）

（5.21）

根据柱的平衡条件

（5.22）

由式（5.21）、式（5.22）知

（5.23）

将

代入式（5.23）得

（5.24）

横梁的转角位移方程为

（5.25）

由图5.7（c）所示节点B的力矩平衡条件为

（5.26）

（5.27）

令

为梁柱线刚度比，代入式（5.27），有

（5.28）

由式（5.24）和式（5.28）得到稳定方程

（5.29）

或

（5.30）

已知

后，根据表5.1的对应关系，通过试算得到

，再算出计算长度系数

，代入

后就可得到临界荷载。

当

时，由式（5.30）知

，此时

，相当于一端铰接，另一端可以移动但不能转动的轴心受压构件的屈曲荷载。

当

时，式（5.30）变为

，符合条件的解有三个：

时，

显然临界荷载应取最小值，即

，说明当

时，此框架为一不稳定的机构。

时，式（5.30）为

，试算后得到

对于不同的

或者将C和S的三角函数和

直接代入式（5.30），可以得到此刚架的稳定方程

（5.31）

给定

后，直接算出

值。

5.2.4多层单跨框架的弹性失稳荷载

图5.8（a）为柱下端固定的双层单跨对称框架，上柱和下柱的轴线压力分别是

和P，

，上柱和下柱的抗弯刚度系数分别是

和

，梁与柱刚性连接。

图5.8双层单跨框架

1.位移法求解图5.8（b）所示无侧移框架的对称失稳荷载

图5.8（b）无侧移框架有两个未知量

，求解时不考虑横梁中轴线力。

柱的线刚度分别为

梁的线刚度分别为

与节点B相连的柱、梁端弯矩分别为

，由节点B的力矩平衡条件

（5.32）

与节点C相连的柱和梁端弯矩分别为，

，由节点C的力矩平衡条件

（5.33）

由式（5.32）、式（5.33）得到框架稳定方程

（5.34）

当给定

后，利用表5.1，通过试算可以得到下柱的

，则可以得出失稳荷载

，上柱的失稳荷载为

2.位移法求作用图5.8（c）有侧移框架反对称失稳荷载

未知量除节点转角

外，还有上、下层柱的侧移角

，且

不但要建立节点B和C的弯矩平衡方程，还需建立上、下层柱间的两个水平切力平衡方程。

求解时不计框架柱失稳时轴线压力的变化。

与节点B有关的柱、梁端弯矩为

由节点B的弯矩平衡条件

（5.35）

与节点C有关的柱、梁端弯矩为

由节点C的弯矩平衡条件

（5.36）

图5.8（c）反对称失稳的框架中每层柱的总水平切力为零，且每根柱本身的切力也为零，则下层柱的平衡条件为

，其中

而

，因此有

（5.37）

上层柱的平衡条件为

，而

，因此

（5.58）

联立式（5.35）、（5.36）、（5.37）、（5.38），以

为未知量，令系数行列式为零即得到框架的稳定方程，解之即可求出失稳荷载

5.2.5多层多跨框架的弹性失稳荷载

多层多跨框架也有无侧移和有侧移两种失稳形式，为了便于计算失稳荷载，有如下基本假定：

（1）材料是弹性体；

（2）组成框架的梁、柱均为等截面直杆；

（3）没有水平外力作用，集中荷载均沿轴线作用；

（4）失稳时同一层柱同时失稳；

（5）按比例加载，不减载，各柱的轴线压力均为一定的比值

，因此求出柱的失稳荷载Pcr后，其它柱的失稳荷载即为

（6）不计框架失稳时横梁中的轴线力；

（7）不计框架失稳时柱轴线压力的变化。

用位移法计算无侧移框架时，以各节点的转角

为未知量。

如框架有n个节点，就可建立n个节点的弯矩平衡方程，形成n个线性方程组，由未知量

的系数形成

阶矩阵，其行列式为零即形成稳定方程，由此可解出

个解，取其中的最小值即为失稳荷载。

用位移法计算有侧移框架时，以各节点的转角

和每层的层间相对侧移角

若框架有

个节点、

层，则应建立

个节点的弯矩平衡方程和

个层间总剪力为零的平衡方程，这样由

个线性代数方程组的系数行列式为零就形成了框架的稳定方程，但随着层数和跨数的增加，用位移法精确求解框架的失稳荷载，即求解

次方程得出

的最小值

并不容易。

可以采用近似法求解。

5.3近似法求解多层多跨框架的弹性失稳荷载

用近似法求解多层多跨框架中某柱的失稳荷载时，只考虑与该柱直接相连的构件对其端部的约束作用，而忽略与其不直接相连的构件的影响，因此可选局部隔离体单独计算，这样就不必求解高阶方程。

1.无侧移的多层多跨框架

对图5.9（a）所示通过设置支撑保证失稳时不发生侧移的多层多跨框架，梁与柱均为刚性连接，计算时假定[21]：

（1）框架中的柱（如AB柱）与其相连的上、下两根柱（AG和BH柱）同时失稳；

（2）框架失稳时，同一层的各横梁两端的转角大小相等，但方向相反；

（3）失稳时节点处梁端不平衡弯矩按该节点处柱的线刚度正比例地分配给柱端使之平衡；

（4）各柱的

值相同，即其抗弯刚度系数均为C和S；

（5）不计横梁中轴线力的影响。

图5.9（b）是为了确定AB柱失稳荷载而取的隔离体。

利用压弯构件和纯弯构件的转角位移方程分别建立节点A、B的平衡方程，进而形成稳定方程，解之就可求得失稳荷载。

与节点A有关的梁端、柱端弯矩有

图5.9无侧移多层多跨框架

节点A的平衡方程为

，即

（5.39）

表示与

节点相连的梁的线刚度之和与柱的线刚度之和的比值，它反映了梁与柱连接的约束刚度，称为柱上端约束参数，则式（5.39）变为

（5.40）

同理可得节点

的平衡方程

（5.41）

柱下端

节点相连的梁的线刚度之和与柱线刚度之和的比值，称为柱下端约束参数。

联立式（5.40）和式（5.41），由系数行列式为零，得到

柱的稳定方程

（5.42）

的三角函数式（公式（5.17））代入，并用

表示，经整理后，式（5.42）变为

（5.43）

当已知

后，求解方程（5.43）即可得到计算长度系数

钢结构设计规范中将

与

之间的关系列成表以备查用。

2.有侧移的多层多跨框架

对图5.10（a）所示有侧移的多层多跨框架，确定AB柱的计算长度系数μ后即可