小学奥数排列组合常见题型及解题策略备选题1Word文件下载.docx
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D、
冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠
军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有
种
不同的结果。
所以选A
二.相邻问题捆绑法:
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
【例1】
五人并排站成一排,如果
必须相邻且
在
的右边,那么不同的排法种数有
把
视为一人,且
固定在
的右边,则本题相当于4人的全排列,
【例2】
(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3
位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()
A.360B.188C.216D.96
间接法6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,
种
其中男生甲站两端的有
,符合条件的排法故共有288
三.相离问题插空法:
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
除甲乙外,其余5个排列数为
种,再用甲乙去插6个空位有
种,不同的排法种数是
【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有种不同的插法(具体数字作答)
【例3】高三
(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的
演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
不同排法的种数为
=3600
【例4】某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工
程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6
项工程的不同排法种数是
依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中,可得有
=20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目,
但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,
则该晚会的节目单的编排总数为种.
【例6】.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的
二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
种方
法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明:
一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒
模型可使问题容易解决.
【例7】3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种?
解法1、先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A
,○*○*○*○,在四个空
中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A
种,所以每个人左右两边都空位的排法有
=24种.
解法2:
先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A
【例8】停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法有多少种?
先排好8辆车有A
种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9
个空档中任选一个,将空车位置插入有C
种方法,所以共有C
A
种方法.
注:
题中*表示元素,○表示空.
四.元素分析法(位置分析法):
某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元
素;
再排其它的元素。
【例1】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,
其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有()
A.36种B.12种C.18种D.48种
方法一:
从后两项工作出发,采取位置分析法。
方法二:
分两类:
若小张或小赵入选,则有选法
;
若小张、小赵都入选,则有
选法
,共有选法36种,选A.
【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
老师在中间三个位置上选一个有
种,4名同学在其余4个位置上有
种方法;
所以共有
种。
.
【例3】有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?
【解析】法一:
法二:
法三:
五.多排问题单排法:
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是()
A、36种B、120种C、720种D、1440种
(2)把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共
种,选
(2)答案:
C
(3)看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有
种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有
种,其余5个元素任排5个位置上有
种,故共有
种排法.
五.定序问题缩倍法(等几率法):
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
【例1】.
必须站在
的右边(
可以不相邻)那么不同的排法种数是()
的右边与
的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即
【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种不同的插法?
法一:
法二:
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排,若A、B、C必须按A在前,B居中,C在后的原则(A、B、C允许不相邻),有多少种不同的排法?
【解析】:
六.标号排位问题(不配对问题)把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排
入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
【例1】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个
方格的标号与所填数字均不相同的填法有()
A、6种B、9种C、11种D、23种
先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填
入其它三个方格,又有三种方法;
第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×
3×
1=9
种填法,选
【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是()
A10种B20种C30种D60种
答案:
B
【例3】:
同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,
则4张贺年卡不同的分配方式共有()
(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种
设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式;
第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类:
(1)乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的,
(2)乙取c或d(2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理,一共有
种分配方式。
故选(B)
【例4】:
五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有()
(A)60种(B)44种(C)36种(D)24种
B
六.不同元素的分配问题(先分堆再分配):
注意平均分堆的算法
【例1】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?
(1)分成1本、2本、3本三组;
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;
(3)分成每组都是2本的三个组;
(4)分给甲、乙、丙三人,每个人2本;
(5)分给5人每人至少1本。
(2)
(4)
(5)
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有种(用数字作答).
第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有
;
第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有
所以满足条件得分配的方案有
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有
(A)150种(B)180种(C)200种(D)280种
人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有
=60种,
若是1,1,3,
则有
=90种,所以共有150种,选A
【例4】将9个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为()
A.70B.140C.280D.840
(A)
【例5】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有()
(A)30种 (B)90种(C)180种 (D)270种
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5
名教师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有
种方法,再将3组分到3个班,
共有
种不同的分配方案,选B.
【例6】某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超
过2个,则该外商不同的投资方案有()种
A.16种B.36种C.42种D.60种
按条件项目可分配为
与
的结构,∴
故选D;
【例7】
(1)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()
A、480种
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