高考理科数学一轮总复习函数的单调性与最值Word文件下载.docx
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(2)存在x0∈I,使得
f(x0)=M
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M;
结论
M为最大值
M为最小值
导师提醒
1.掌握函数单调性的两种等价形式
设任意x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,
(1)
>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;
<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.
(2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.
2.注意单调性的两个易错点
(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.
(2)有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.
3.记牢五条常用结论
(1)对勾函数y=x+
(a>0)的增区间为(-∞,-
]和[
,+∞),减区间为[-
,0)和(0,
].
(2)在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(3)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u),u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.
(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)<
f(3),则函数f(x)在R上为增函数.( )
(2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞).( )
(3)函数y=
的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )
(4)所有的单调函数都有最值.( )
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( )
(6)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)×
(6)√
下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )
A.y=|x|B.y=3-x
C.y=
D.y=-x2+4
解析:
选A.y=3-x在R上递减,y=
在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递减,故选A.
函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上( )
A.递减B.递增
C.先递减后递增D.先递增后递减
选C.因为函数y=x2-6x+10的图象为抛物线,且开口向上,对称轴为直线x=3,所以函数y=x2-6x+10在(2,3)上为减函数,在(3,4)上为增函数.
若函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是________.
因为函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,所以2k+1<0,即k<-
.
(-∞,-
)
(教材习题改编)已知函数f(x)=
,x∈[2,6],则f(x)的最大值为________,最小值为__________.
可判断函数f(x)=
在[2,6]上为减函数,所以f(x)max=f
(2)=2,f(x)min=f(6)=
2
确定函数的单调性(区间)(多维探究)
角度一 求函数的单调区间
(1)函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是( )
A.
B.
和[2,+∞)
C.(-∞,1]和
D.
(2)函数y=
的单调递增区间为________,单调递减区间为________.
【解析】
(1)y=|x2-3x+2|
=
如图所示,函数的单调递增区间是
和[2,+∞);
单调递减区间是(-∞,1]和
.故选B.
(2)令u=x2+x-6,
则y=
可以看作是由y=
与u=x2+x-6复合而成的函数.
令u=x2+x-6≥0,得x≤-3或x≥2.
易知u=x2+x-6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y=
在[0,+∞)上是增函数,
所以y=
的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).
【答案】
(1)B
(2)[2,+∞) (-∞,-3]
角度二 含参函数的单调性
(一题多解)判断并证明函数f(x)=
(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
【解】 法一:
设-1<x1<x2<1,
f(x)=a
=a
,
f(x1)-f(x2)=a
-a
,由于-1<x1<x2<1,
所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,
故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
函数f(x)在(-1,1)上递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
函数f(x)在(-1,1)上递增.
法二:
f′(x)=
所以当a>
0时,f′(x)<
0,当a<
0时,f′(x)>
0,
即当a>
0时,f(x)在(-1,1)上为单调减函数,
当a<
0时,f(x)在(-1,1)上为单调增函数.
确定函数单调性的4种方法
(1)定义法.利用定义判断.
(2)导数法.适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.
(3)图象法.由图象确定函数的单调区间需注意两点:
一是单调区间必须是函数定义域的子集;
二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.
(4)性质法.利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性.
[提醒] 求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.
1.函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间是________.
由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;
当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,二次函数的图象如图,
由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞).
[-1,0],[1,+∞)
2.判断并证明函数f(x)=ax2+
(其中1<a<3)在x∈[1,2]上的单调性.
解:
设1≤x1<x2≤2,则
f(x2)-f(x1)=ax
+
-
=(x2-x1)
由1≤x1<x2≤2,得x2-x1>0,2<x1+x2<4,
1<x1x2<4,-1<-
<-
又1<a<3,
所以2<a(x1+x2)<12,
得a(x1+x2)-
>0,从而f(x2)-f(x1)>0,
即f(x2)>f(x1),
故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增.
函数单调性的应用(多维探究)
角度一 比较大小
已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f
,b=f
(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>c>bD.b>a>c
【解析】 因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f
=f
.由x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·
(x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减.
因为1<2<
<e,所以f
(2)>f
>f(e),
所以b>a>c.
【答案】 D
角度二 解函数不等式
定义在[-2,2]上的函数f(x)满足(x1-x2)·
[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,且f(a2-a)>f(2a-2),则实数a的取值范围为( )
A.[-1,2)B.[0,2)
C.[0,1)D.[-1,1)
【解析】 因为函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,
所以函数在[-2,2]上单调递增,
所以-2≤2a-2<a2-a≤2,解得0≤a<1,故选C.
【答案】 C
角度三 根据函数的单调性求参数
(1)(2019·
郑州模拟)函数y=
在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.a=-3B.a<3
C.a≤-3D.a≥-3
(2)设函数f(x)=
若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1]
B.[1,4]
C.[4,+∞)
D.(-∞,1]∪[4,+∞)
【解析】
(1)y=
=1+
由题意知
得a≤-3.
所以a的取值范围是a≤-3.
(2)作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥4,故选D.
【答案】
(1)C
(2)D
函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略
(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.
[提醒] ①若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;
②分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
1.已知函数f(x)=
若f(2-x2)>
f(x),则实数x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-1,2)
D.(-2,1)
选D.因为当x=0时,两个表达式对应的函数值都为零,所以函数的图象是一条连续的曲线.
因为当x≤0时,函数f(x)=x3为增函数,
当x>
0时,f(x)=ln(x+1)也是增函数,
所以函数f(x)是定义在R上的增函数.
因此,不等式f(2-x2)>
f(x)等价于2-x2>
x,
即x2+x-2<
0,解得-2<
x<
1.
2.(2019·
武汉模拟)若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.(1,+∞)
C.(-∞,1)D.(-∞,1]
选B.因为函数f(x)=2|x-a|+3=
因为函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,
所以a>1.
所以a的取值范围是(1,+∞).
故选B.
函数的最值问题(师生共研)
(1)已知函数f(x)=
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- 高考 理科 数学 一轮 复习 函数 调性
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