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l总结体会:
研究性学习让我明白了探讨问题的基本方法,即提出问题、做出假设、解决问题、得出结论。
从研究学习的过程中既能够锻炼能力,增长知识,最重要的是获得探索的乐趣,使我明白了重点不在于结果而在于过程。
——探索九连环中的数学规律
石嘴山市第三中学高二年级七班郭婉婷
【摘要】九连环是我国的一种传统智力玩具,历史悠久,流传广泛,征服了古今中外无数爱好者,是中国传统文化中的一颗璀璨明珠。
而本文主要探索九连环中的数学规律。
【关键词】九连环;
数学;
规律;
九连环是中国传统的有代表性的智力玩具,凝结着中国传统文化,具有极强的趣味性。
九连环能既练脑又练手,对于开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处。
同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心,实为老少咸宜。
l九连环的发展历史
九连环历史非常悠久,据说发明于战国时代。
它是人类所发明的最奥妙的玩具之一。
宋朝以后,九连环开始广为流传。
在明清时期,上至士大夫,下至贩夫走卒,大家都很喜欢它。
很多著名文学作品都提到过九连环,《红楼梦》中就有林黛玉巧解九连环的记载。
在国外,数学家卡尔达诺在公元1550年已经提到了九连环。
后来,数学家华利斯对九连环做了精辟的分析。
格罗斯也深入研究了九连环,用二进制数给了它一个十分完美的答案。
九连环主要由九个圆环及框架组成。
每一个圆环上都连有一个直杆,各直杆在后一个圆环内穿过,九个直杆的另一端用板或圆环相对固定住。
圆环在框架上可以解下或套上。
玩九连环就是要把这九个圆环全部从框架解下或套上。
九连环的玩法比较复杂,无论解下还是套上,都要遵循一定的规则。
19世纪的格罗斯经过运算,证明共需要三百四十一步,到目前为止还没有其它更为便捷的答案。
1975年国外出了一本关于离散数学的书,其中收录了这样一个数列:
1,2,5,10,21,42,85,170,341……这就是"
九连环"
的数列。
实际上,解下或套上n连环所需步数可用CM公式算出:
f(n)=[2^(n1)-0.5*(-1)^n-1.5]/3。
九连环的确环环相扣,趣味无穷。
在第一次玩时,需要分析与综合相结合,不断进行思考和推理。
复杂的玩法需要耐心和在困难面前不急躁的作风,切不可心浮气躁,使用暴力。
玩九连环的次数多了,就会越来越熟练,也会对玩法有更加深刻的理解,能更好地体会其中的内在思想。
l九连环的特点
九连环是我国的一种传统智力玩具,历史悠久,流传广泛,征服了古今中外无数爱好者,是中国传统文化中的一颗璀璨明珠,与七巧板、华容道并称为我国古代三大智力玩具。
九连环在其上千年的发展中,产生了许许多多的变种,形成了一大类——连环类玩具。
我国研究和收藏连环类玩具的专家周伟中先生指出,连环类玩具的种类至少在1000种以上,他本人收藏的就达600余种。
连环类玩具有三大特点:
一是挑战性。
任何一种连环的解法都具有较高的难度,有的难度极高,甚至令人觉得根本不可能解开。
因此解连环就具有强大的挑战性,强烈地吸引着人们的好奇心和征服欲。
二是规律性。
智力玩具都有其内在的规律,连环类玩具的规律性则特别强,必须按照特定的程序,有条不紊地操作,才能最终解开。
三是趣味性。
伴随着挑战性和规律性而来的是趣味性。
苏霍姆林斯基说:
“在人的心灵深处,都有一种根深蒂固的需要,这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。
而在儿童的精神世界中,这种需要则特别强烈。
”因此,人们对智力玩具具有天生的爱好,都想探索它、研究它、发现其中的奥妙,儿童更是如此。
挑战性越强就越能吸引人,发现规律的过程往往令人心醉神迷。
由于这三大特点,连环类玩具具有良好的教育功能,首先是开发智力,这一点很明显,无庸赘述。
其次,也许更重要的是非智力因素的培养。
解九连环不但难度大,而且操作相当复杂,即使是熟手,也需6分钟一8分钟(目前世界记录是1分54秒)。
一般人就可能需要加倍的时间了。
这对于培养信心、耐心、细心、恒心都是很有功效的,对于儿童来说尤其重要。
本文综合已经得到的研究成果,看看九连环中的数学问题,希望能够提高各位玩家的兴趣。
l九连环的解法
顾名思义,九连环有9个环,环环相连。
这九个环套在一个剑形的环柄上,从最左边起,依次叫1号环、2号环、…、9号环。
环柄的把叫柄把,形似剑叶的部分叫柄钗。
环可以从柄钗这一端套上或取下,但不能从柄把这一端套上或取下。
每一个环都连有一根环杆,1号环的环杆穿过2号环,2号环的环杆穿过3号环,…,8号环的环杆穿过9号环。
环杆的另一端都穿过一块底板。
这样环通过杆连在一起,杆又通过底板连在一起,形成一个叠错扣连的封闭体系。
九连环的奥妙就来自它的这种结构。
解九连环首先要掌握以下两种基本操作。
1.单环和双环上、下法
单环上、下法就是把1号环装上或取下的方法。
上环时首先将环转90°
,自下而上从环柄的两根杆中穿过;
然后将环再转90°
,向左移过环柄的左端,套到环柄上。
下环的过程是上环的逆过程。
双环的上、下法与单环相同,只是需同时拿住两个环操作(只适用于1、2号两个环)。
2.3号环的上、下法
大于2号的环,其上、下法都相同,这里我们以3号环作代表来说明。
上环时,2号环必须在柄上。
1号环必须在柄下。
操作方法是,先将在柄上的2号环左移,退出环柄,推到柄钗的上方;
再按照单环的上法将3号环套人柄钗;
最后将2号环下降,套入柄钗复位。
下环时,首先也用同样的操作将2号环“浮”到柄钗的上方;
然后下3号环,其路线与上的路线恰好相反;
最后要用同样的操作将2号环复位。
根据九连环的结构,我们来分析一下每一环套上柄钗和从柄钗上取下的情况。
对于1号环,由于没有别的环的环杆约束它,所以它可以自由上、下。
对于2号环,由于1号环的环杆从其中穿过,把它与l号环连起来,所以它可以随1号环一起上下;
如果要单独下,那么l号环必须在柄上,否则的话,由于1号环在柄下,它的环杆已在柄外,而这根环杆是穿过2号环的,它就会阻止2号环在左移过柄钗后返回,重新从两根横杆中间落下,这样2号环就无法下环。
2号环的上环与下环却有所不同,这时1号环在柄上、柄下均可。
在柄上时,上法相同;
在柄下时,由于其环杆穿过2号环,在2号环上时,会连带着把l号环也带到柄钗上方“浮”着,解决的方法是只要把它向左推过柄钗的左端即可。
对于3号环的下,可以发现,若1、2号环都在柄上,则1号环的环杆将阻止3号环左移过柄钗;
若l、2号环都在柄下,则2号环的环杆将阻止3号环在左移过柄钗后从两根横杆之间落下,所以都无法实现下环。
当且仅当1号环在柄下、2号环在柄上时,3号环才能取下。
3.其他各环的情况
以下依此类推,4号环、5号环、……的上下,都与3号环类似,当且仅当它前面相邻的环在柄上,再前面的所有环都在柄下时,这个环才能上下。
因此,要取下9号环,8号环必须在柄上,1—7号环必须在柄下;
要取下8号环,7号环必须在柄上,1—6号环必须在柄下;
……由此可知,解九连环时,第一步应取下1号环,而不可将1、2号环同时取下,否则就无法取下3号环,而在不影响3号环上下的情况下,1、2号环可同时上下,以便加快速度。
从上面的分析可知,九连环的9个环中,1号环可自由上、下,1、2号环可以同时自由上、下;
2号环可以自由上,但只有1号环在柄上时才能下;
其他的环都只能在严格的条件限制下单独上、下。
这就是解九连环的规则,按照这一规则就可顺利地解九连环。
l九连环与二进制
二进制数是九连环中蕴藏的最惊人的数学理念。
1号环可以随意穿进穿出,这就相当于二进制中的0和1。
事实上,9个环中,只有1号环能够随意进出,其他的环都必须在满足一定条件的情况下,才能被取下和套上。
如果要取下3号环,则1、2号环必须安装上;
如果要取下4号环,则1-3号环必须安装好。
同理,如果要取下N号环,则1-(N-1)号环必须安装好才可以实现。
同样的,如果想取下第N个环,必须保留N-1环的情况下,将其余的1-(N-2)号环清零,这种思路,就是二进制的思路。
前面所有位数全满的情况下,才能向最高位进位。
现在,我们分析一下解九连环的完全解法。
由于每次只动一个环,故两步只有一个数字不同。
为简单起见,我们先以五个环为例分析。
左边起第一列的五位数是5个环的状态,依次由第一环到第五环,如11000就表示第一环第二环在上面。
第二列是把这个表示次序反转后得到的五位数,可以看成二进制数。
第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。
最右边一列才是步数的二进制表示。
环的状态顺序
序数反转
步数十进制
步数二进制
00000
10000
00001
1
11000
00011
2
00010
01000
3
01100
00110
4
00100
11100
00111
5
00101
10100
6
7
8
10110
01101
9
01001
11110
01111
10
01010
01110
11
01011
12
11010
13
10010
14
15
16
10011
11001
17
10001
11011
18
19
20
11111
21
10101
由上表可以看出,二进制数从00000到11111相当于十进制的32,而九连环的变化只有21步!
并非严格按照二进制来的,更无法将环的状态序数码和步数挂钩。
我们发现,右边一列数恰好是0到21的二进制数的Grey码!
格雷码(英文:
GrayCode,GreyCode,又称作葛莱码,二进制循环码)是1880年由法国工程师Jean-Maurice-EmlleBaudot发明的一种编码,因FrankGray于1953年申请专利“PulseCodeCommunication”得名。
当初是为了机械应用,后来在电报上取得了巨大发展,现在则常用于模拟-数字转换和转角-数字转换中。
典型格雷码是一种具有反射特性和循环特性的单步自补码,它的循环、单步特性消除了随机取数时出现重大误差的可能,它的反射、自补特性使得求反非常方便。
格雷码属于可靠性编码,是一种错误最小化的编码,因为它大大地减少了由一个状态到下一个状态时电路中的混淆。
由于这种编码相邻的两个码组之间总是只有一位不同,因而在用于模-数转换中,当模拟量发生微小变化而可能引起数字量发生变化时,格雷码仅改变一位,这样与其它码同时改变两位或多位的情况相比更为可靠,即可减少出错的可能性.这就允许代码电路能以较少的错误在较高的速度下工作。
而普通二进制编码则有
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- 连环 中的 数学