正弦定理和余弦定理详细讲解Word格式.docx

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（1）化边为角；

（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.

例1.已知在ABC中，c10,A45o,C30o，解三角形

B180°

（AC）105°

总结升华：

1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题;

2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.

举一反三:

【变式1】在ABC中，已知A32.00，B81.8°

，a42.9cm，解三角形。

【答案】根据三角形内角和定理,

C180°

（AB）180°

（32.0°

81.8°

）66.2°

；

【答案】根据正弦定理a——―—，得a:

b:

csinA:

sinB:

sinC1:

2:

3.

sinAsinBsinC

例2.在ABC中，b3,B60°

c1,求：

a和A,C.

思路点拨：

先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C,

然后用三角形内角和求出角

A，最后用正弦定理求出边a.

解析：

由正弦定理得：

b

c

sinB

sinC

r尹a

.小csinB1

°

sin60

1

.sinC

迨

2

（方法一）•••0°

C

180°

.C30°

或C150°

当C150°

时，BC210°

180°

，（舍去）；

当C30°

时，A90°

.・.a,b2c22.

（方法二）•••be,B60°

•••CB,

•••C60°

即C为锐角，•-C30°

A90°

•a<

dC22.

1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2.在利用正弦定理求角C时，因为sinCsin（180°

C），所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.

3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍

类型二：

余弦定理的应用：

例3.已知ABC中，AB3、BC「37、AC4，求ABC中的最大角。

首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解

•••三边中BC37最大，•BC其所对角A最大，

222222

ABACBC34（、37）1

根据余弦疋理：

cosA-,

ABgAC234

•/0°

A180°

•A120°

故ABC中的最大角是A120°

.

1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理;

2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系

举一反三：

【变式1】已知ABC中a3,b5,c7,求角C.

2b22_23272

【答案】根据余弦定理：

c°

sCabC53

2ab235

C180°

•C120°

【变式2】在ABC中，角代B,C所对的三边长分别为a,b,c，若

a:

b:

c6:

2:

（31）,求ABC的各角的大小.

【答案】设a,6k,b

2k,c.'

31

根据余弦定理得：

sB

2、3

1.6

45°

;

同理可得A

60°

•C180°

AB75°

【变式3】在

ABC中，若

a2b2

cbc，求角

A.

【答案】•-b2c2a2

bc,

•cosA

b2c2

a2

2bc

•A

120°

类型三：

正、余弦定理的综合应用

求b及A.

例4.在ABC中，已知a2、3,c；

6、2,B450,

b，然后继续用

画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边

余弦定理或正弦定理求角

⑴由余弦定理得:

2accosB

=（23）2

（.62）2223C6.2）c°

s450

=12（'

一62）243（-31）

=8

•b22.

⑵求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

（法一：

余弦定理）

（2•2）2C6、2）2（2-3）2

222bca

•••c°

sA

bc

222（62）

•A60°

（法二：

正弦定理）

tsinA

aS"

B窮E0

又•••622.41.43.8,

2321.83.6

•••avc，即00vAv90°

•••A60°

画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.

【变式1】在ABC中，已知b3,c4,A135°

.求B和C.

【答案】由余弦定理得：

a23242234cos135o251^2,

•a,251226.48

•C1800（AB）25053/.

【变式2】在ABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a2,b22,

c.6、2，求角A和sinC

其他应用题详解

-、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

B.3akm

D.2akm

AB2=AC2+BC2-2ACBCcos120=2a2-2a2X—1=3a2，

•°

AB=,3a.

答案B

2•张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°

方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东

A.22km

C.33km

BSab

ZABS=180-75=105,所以/ASB=45°

•由正弦定理知石^45，所以

有CE=25X2=50,CF=15X2=30,且ZECF=120；

EF=CE2+CF2-2CECFcos120

=502+302-2X50X30cos120=70.

答案D

4.

（2014济南调研）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°

测得塔基B的俯角为45°

那么塔AB的高度是（

B.

201+23m

解析如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB=20m,所以

BM=20m.又在Rt小MD中,

DM=20m,ZADM=30°

••AM=DMtan30.

••AB=AM+MB=203+20

=201+弘）.

答案A

5.

B姮

B.5

n5

D.5

（2013天津卷）在厶ABC中，/ABC=$AB^2，BC=3，贝Usin/BAC二（）

A迈

A.10

C3.10

C.10

解析由余弦定理AC2=AB2+BC2—2ABBCcosZABC=（：

2）2+32—2X〔；

迈厂sinZABC3X2

x3X2=5，所以AC=*；

5，再由正弦定理：

sin/BAC=—acBC=—5—=

10.

答案C

6.

50km/h的速度由B向C行驶,

（2014滁州调研）线段AB外有一点C，/ABC=60°

AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以则运动开始多少h后，两车的距离最小（）

A69

A.43

D.

C70

C.43

解析如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E,则

AD=80t，BE=50t.因为AB=200,所以BD=200—80t,问题就是求DE最小时

t的值.

由余弦定理，得

222

DE2=BD2+BE2—2BDBEcos60

22

=（200—80t）2+2500t2—（200—80t）50t

=12900t2—42000t+40000.

当t=70时,DE最小.

二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

7.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km，现测得/

ABC=120°

贝UA、C两地的距离为km.

100+400-2X10X20Xcos120=700,

••AC=107（km）.

答案107

8.如下图，一艘船上午9:

30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°

处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:

00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°

处，且与它相距8（2nmile.此船的航速是nmile/h.

北

解析设航速为vnmile/h

•'

v=32（nmile/h）.

答案32

的正东方向上，测得点A的仰角为60°

再由点C沿北偏东15°

方向走10米到位

置D，测得/BDC=45°

则塔AB的高是.

解析在ABCD中，CD=10,/BDC=45°

/BCD=15°

+90°

=105°

/

—CDsin45°

厂“BC_気厂_1^/2（米）.

_10；

6（米）.

答案10.6

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

10.（2014台州模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°

的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。

和30°

，第一排和最后一排的距离为10；

6米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？

在RtAKBC中，AB=BCsin60=20^亨=30（米）,所以升旗速度v=AB=

30…

50=0.6（米/秒）•

11.

如图，A、B是海面上位于东西方向相距5（3+3）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°

B点北偏西60°

的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°

且与B点相距20