MATLAB在线性规划中的应用.docx

MATLAB在线性规划中的应用.docx

《MATLAB在线性规划中的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《MATLAB在线性规划中的应用.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

MATLAB在线性规划中的应用

MATLAB在线性规划中的应用

摘要

在各类经济活动中，经常遇到这样的问题：

在生产条件不变的情下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好。

这样的问题常常可以化成或近似地化成所谓的“线性规划”（LinearProgramming，简记为LP）问题。

线性规划是应用分析、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现有效管理。

利用线性规划我们可以解决很多问题。

如：

在不违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高）。

也可以在满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。

同时还可以在任务或目标确定后，统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成任务。

常规的手工解法复杂且运算量大，而MATLAB语言可以很好的处理线性规划问题，既能进行数值的求解，又能绘制有关线性图形，非常方便实用，利用其可以减少工作量，节约时间，加深理解，同样可以培养应用能力。

关键词:

线性规划  优化求解 MATLAB语言

一、线性规划问题的在实际中的应用

1、线性规划问题的在实际应用中的作用

任何资源都是有限的，如何通过分配有限的资源获得人们所期望的效果，在工农业生产、交通运输、资本增值等各项经济活动中，如何提高经济效益，做到耗费较少的人力物力财力，创造出较多的经济价值，这些问题涉及分配，而线性规划为最优分配提供了工具。

2、线性规划主要研究的两类问题

一是一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到用最少的人力物力资源去完成这一任务。

二是已有一定数量的人力物力资源，如何安排使用它们，使得完成任务最多。

常见的线性规划问题如：

运输问题，生产的组织与计划问题，合力下料问题，配料问题、布局问题、分派问题等。

2、MATLAB在线性规划中的应用

1.MATLAB在线性规划中的指令

线性规划是一种优化方法，Matlab优化工具箱中有现成函数linprog[1]对如下式描述的LP问题求解：

% minf'x

%  s.t.（约束条件）：

 Ax<=b

%  （等式约束条件）：

 Aeqx=beq

%  lb<=x<=ub

linprog函数的调用格式如下：

x=linprog（f,A,b）

x=linprog（f,A,b,Aeq,beq）

x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub）

x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0）

x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options）

[x,fval]=linprog（…）

[x,fval,exitflag]=linprog（…）

[x,fval,exitflag,output]=linprog（…）

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog（…）

2、相关说明

x=linprog（f,A,b）返回值x为最优解向量。

x=linprog（f,A,b,Aeq,beq）作有等式约束的问题。

若没有不等式约束，则令A=[]、b=[]。

x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options）中lb,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。

Options的参数描述：

Display显示水平；选择’off’不显示输出；选择’Iter’显示每一步迭代过程的输出；选择’final’显示最终结果。

MaxFunEvals函数评价的最大允许次数。

Maxiter最大允许迭代次数。

TolX x处的终止容限。

[x,fval]=linprog（…）左端fval返回解x处的目标函数值。

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog（f,A,b,Aeq,beg,lb,ub,x0）的输出部分。

exitflag描述函数计算的退出条件：

若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。

output返回优化信息：

output.iterations表示迭代次数；output.algorithm表示所采用的算法；outprt.funcCount表示函数评价次数。

lambda返回x处的拉格朗日乘子。

它有以下属性：

lambda.lower-lambda的下界；      

lambda.upper-lambda的上界；

lambda.ineqlin-lambda的线性不等式；

lambda.eqlin-lambda的线性等式。

三、运用MATLAB解决线性规划问题的实例

对于给定的实际问题，首先是要建立线性规划问题[2]的数学模型，其次是求问题的最优解。

1、直接运用MATLAB编程计算求解线性规划问题

线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件可以是不等式也可以是等式，变量可以有非负要求也可以没有非负要求（称这样的变量为自由变量）。

为了避免这种由于形式多样性而带来的不便，规定线性规划的标准形式为

（1）

极小值模型

（2）

极大值模型              

利用矩阵与向量记为

（3）

其中C和x为n维列向量，b为m维列向量，b≥0，A为m×n矩阵,m

如果根据实际问题建立起来的线性规划问题并非标准形式，可以将它如下化为标准形式：

（1）若目标函数为

，可将它化为

（2）若第i个约束为

，可增加一个松驰变量

，将不等式化为

，且

0。

若第i个约束为ai1x1+…+ainxn

bi，可引入剩余量

，将不等式化为

ai1x1+…+ainxn－yi=bi，且yi

0。

（3）若xi为自变量，则可令

其中

、

0。

问题一、某牧场饲养一批动物，平均每头动物至少需要700g蛋白质，30g矿物质和100g维生素。

现有A,B,C,D,E五种饲料可供选用，每千克饲料的营养成分（单位：

g）与价格（单位：

元/kg）如下表所示：

表1每千克饲料的营养成分（单位：

g）与价格（单位：

元/kg）

蛋白质

矿物质

维生素

价格

A

3

1.0

0.5

0.4

B

2

0.5

1.0

1.4

C

1

0.2

1.2

0.8

D

6

2.0

2.0

1.6

E

12

0.5

0.8

1.6

试求能满足动物生长营养需求又最经济的选用饲料方案。

设配合饲料中，用A种饲料

单位，用B种饲料

单位，用C种饲料

单位，用D种饲料

单位，用E种饲料

单位，则配合饲料的原料成本函数，即决策的目标函数为Z。

考虑三种营养含量限制条件后，得这一问题的线性规划模型[3]如下

目标函数：

（4）

约束条件为：

（5）

编写M文件如下：

c=[0.4;1.4;0.8;1.6;1.6];   %产生有五个元素的列向量c

A=[-3,-2,-1,-6,-12;-1.0,-0.5,-0.2,-2.0,-0.5;-0.5,-1.0,-1.2,-2.0,-0.8]; %约束条件中的变量系数构成的矩阵A

b=[-700;-30;-100];      %约束条件中的上下界构成的列向量

Aeq=[];           %没有等式约束

beq=[];             %没有等式约束

vlb=zeros（5,1）;            %生成一个五行一列的零矩阵

[x,fval,eval]=linprog（c,A,b,Aeq,beq，vlb）  %调用linprog函数

可得到如下结果：

Optimizationterminated.

x=

224.7115

0.0000

0.0000

0.0000

2.1555

fval=

93.3333

从以上结果可以看出，买224.7115千克的A饲料，2.1555千克的E饲料，能满足动物生能满足动物生长营养需求又最经济，所用价钱为93.3333元。

问题二、某农场I、II、III等耕地的面积分别为100hm2、300hm2和200hm2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000kg、130000kg和350000kg。

I、II、III等耕地种植三种作物的单产如表5.1.4所示。

若三种作物的售价分别为水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。

那么，

（1）如何制订种植计划，才能使总产量最大？

（2）如何制订种植计划，才能使总产值最大

表2不同等级耕地种植不同作物的单产（单位:

kg/hm2）

I等耕地

II等耕地

III等耕地

水稻

11000

9500

9000

大豆

8000

6800

6000

玉米

14000

12000

10000

首先根据题意建立线性规划模型（决策变量设置如表2所示，表中

表示第

种作物在第j等级的耕地上的种植面积。

）：

表3 作物计划种植面积（单位:

hm2）

I等耕地

II等耕地

III等耕地

水稻

大豆

玉米

约束方程[4]如下：

耕地面积约束：

        （6）

最低收获量约束：

   （7）

非负约束：

（1）追求总产量最大，目标函数为：

（8）                         

（2）追求总产值最大，目标函数为：

（9）

根据求解函数linprog中的参数含义，列出系数矩阵，目标函数系数矩阵，以及约束条件等。

这些参数中没有的设为空。

譬如，当追求总产量最大时，只要将参数

f=[-11000 –9500 –9000 –8000 –6800 –6000 –14000 –12000 -10000];

A=[1.00000.00000.00001.00000.00000.00001.00000.00000.0000;

0.00001.00000.00000.00001.00000.00000.00001.00000.0000;

0.00000.00001.00000.00000.00001.00000.00000.00001.0000;

-11000.00000.00000.0000-9500.00000.00000.0000-9000.00000.00000.0000;

0.0000-8000.00000.00000.0000-6800.00000.00000.0000-6000.00000.0000;

0.00000.0000-14000.00000.00000.0000-12000.00000.00000.0000-10000.0000];

b=[100300200-190000-130000-35