学年上海市青浦区高一上学期期末学业质量调研测试数学试题解析版Word格式文档下载.docx

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A．，B．，C．，D．，

【解析】

4．对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”判断下列三个函数：

；

中是位差奇函数的个数有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【解析】根据题意，结合““位差奇函数”的定义依次分析3个函数是否是“位差奇函数”，综合即可得答案．

根据题意，依次分析3个函数；

对于，，有，

则对任意实数m，是奇函数，

即是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；

对于，，则，

设，不会是奇函数，

则不是“位差奇函数”；

对于，，记，

由，当且仅当等式成立，

则对任意实数m，都不是奇函数，则不是“位差奇函数”；

本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题

二、填空题

5．设集合，集合4，，则______．

【答案】3，4，

【解析】进行并集的运算即可．

，4，；

3，4，．

故答案为：

考查列举法的定义，以及并集的运算．

6．写出命题“若，则”的否命题______．

【答案】若，则

【解析】根据否命题的定义即可求出．

命题“若，则”的否命题为若，则，

若，则

本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题.

7．不等式的解集为______．

【答案】

【解析】由不等式，可得，即可解得不等式的解集．

由不等式可得，

故不等式的解集为，

故答案为．

本题考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解．

8．已知幂函数的图象经过点，则的解析式为______．

【解析】利用幂函数的定义即可得出．

设幂函数为常数，由题意得，．

．

正确理解幂函数的定义是解题的关键．

9．函数的反函数是______．

【解析】该题考查指数式和对数式的互化及反函数的求法，利用反函数的定义结合指对互化即可获得．

由得，即：

又原函数的值域是，

函数的反函数是．

求反函数，一般应分以下步骤：

由已知解析式反求出；

交换中x、y的位置；

求出反函数的定义域一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．

10．函数的定义域为______．

【解析】由根式内部的代数式大于等于0求解对数不等式得答案．

由，得，即．

函数的定义域为．

本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题

11．函数的值域是______．

【解析】利用分子常数化，结合分式函数的单调性进行判断求解即可．

则当时，为增函数，

则，

即，

即函数的值域为，

本题主要考查函数值域的求解，利用分式的性质是解决本题的关键．

12．方程的解集是______．

【解析】利用换元法将方程转化为一元二次方程进行求解即可．

由得，

设，则，

则原方程等价为，即，

解得或．

由，解得．

故方程的解集为．

本题主要考查指数方程的求法，利用换元法将指数方程转化为一元二次方程是解决本题的一个技巧，要求熟练掌握．

13．已知函数，若，则实数a的取值范围是______．

【解析】可得在R上递增；

再由奇偶性的定义，可得为奇函数，原不等式即为，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．

函数，，在R上为单调递增，函数在R上递增；

又，可得为奇函数，

即有

由，

即有，

解得，

本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．

14．若函数，则图象上关于原点O对称的点共有______对

【答案】2

【解析】求出函数关于原点对称的函数为，，利用数形结合判断当时，与，的交点个数即可．

当时，关于原点对称的函数为，即，，

若函数图象上关于原点对称的点，

等价为当时，与，

的交点个数即可，

作出函数和，的图象如图，由图象知，

当时，两个函数图象的交点个数有2个，

即函数图象上关于原点对称的点有2对，

2

本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键注意利用数形结合是解决本题的关键．

15．设实数，，且，则的取值范围是______．

【解析】先由得出，并可结合已知条件求出x的取值范围，然后将关系式代入转化为x的代数式，利用基本不等式可求出的取值范围．

由，可得，，，由，可得，则，

所以，，

当且仅当，即当时，等号成立，

所以，的取值范围是．

本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，解决本题的关键在于将代数式进行转化，并进行灵活配凑，考查计算能力与化简变形能力，属于中等题．对于二元范围问题常见的方法有：

二元化一元，变量集中或者利用不等式解决.

16．函数是定义域为R的偶函数，当时，函数的图象是由一段抛物线和一条射线组成如图所示如果对任意，都有，那么的最大值是______．

【答案】4

【解析】根据题意，设抛物线的方程为，将代入计算可得a的值，进而令，解可得x的值，又由射线经过点和，可得射线的方程，求出的解，结合函数的图象分析可得上，满足的最大区间为，结合函数的奇偶性分析可得答案．

根据题意，当时，抛物线的图象的对称轴为，且最高点坐标为过，

设抛物线的方程为，

又由其经过点，则；

若，解可得或2，

射线经过点和，其方程为，，

若，则，

故在上，满足的最大区间为，

又由函数为偶函数，则对任意，都有，则

那么的最大值是；

4．

本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的图象以及解析式的计算，属于综合题．

三、解答题

17．定义在D上的函数，如果满足：

对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界已知函数

当，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

（1）见解析；

（2）

（1）当a＝1时，f（x）＝1＋

因为f（x）在（－∞，0）上递减，所以f（x）>

f（0）＝3，即f（x）在（－∞，0）的值域为（3，＋∞），

故不存在常数M>

0，使|f（x）|≤M成立，

所以函数f（x）在（－∞，0）上不是有界函数．

（2）由题意知，|f（x）|≤3在[0，＋∞）上恒成立．

－3≤f（x）≤3，－4－≤a·

≤2－，所以－4·

2x－≤a≤2·

2x－在[0，＋∞）上恒成立．所以≤a≤，

设2x＝t，h（t）＝－4t－，p（t）＝2t－，由x∈[0，＋∞）得t≥1，设1≤t1<

t2，h（t1）－h（t2）＝>

0，p（t1）－p（t2）＝<

0，所以h（t）在[1，＋∞）上递减，p（t）在[1，＋∞）上递增，h（t）在[1，＋∞）上的最大值为h

（1）＝－5，p（t）在[1，＋∞）上的最小值为p

（1）＝1，所以实数a的取值范围为[－5，1]．

18．己知集合，集合．

求集合A；

若，求实数a的取值范围．

（1）

（2），或．

【解析】解分式不等式即可得出集合；

可求出，或，根据即可得出，且，从而得出或，解出a的范围即可．

由得，；

解得；

，或；

且；

实数a的取值范围为，或．

考查描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，以及子集的定义．

19．某高速公路收费站的拋物线拱顶如图所示，该拱顶的跨度米，P为AB的中点，拱高，米，在建造时每隔8米需用一个支柱支撑，支柱分别为、、、，求支柱的长度．

【答案】米

【解析】以O为原点，直线PO方向为y轴方向建立坐标系，设抛物线方程为，，代入，解得p，将代入抛物线方程，可求支柱的高度．

以O为原点，直线PO方向为y轴方向建立坐标系，

设抛物线方程为

，，

设，代入抛物线方程可得，解得，

即有抛物线的方程为，

由题意可设，

可得，解得，

即有支柱的长度为米．

本题考查抛物线的方程，考查学生的计算能力，建立适当的坐标系是解题的关键，属于基础题．

20．已知函数的图象过点．

求函数解析式；

若，求使得成立的x的取值范围．

（1）

（2）

【解析】利用待定系数法即可求出;

根据对数函数和指数的性质即可求出．

的图象过点，

解得，，

故，

由，可得，且，

故x的范围为

本题考查了函数解析式的求法，和对数函数和指数函数的性质，考查了运算求解能力，属于中档题

21．已知函数．

判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；

若在时恒成立，求实数a的取值范围．

（1）见证明；

（2），

【解析】根据函数的单调性的定义证明即可；

不等式在上恒成立，化简整理可得在上恒成立，根据基本不等式求出左边的最小值为4，由此即可得到实数a的取值范围．

在递减，

证明如下：

设，

故在递增；

在上恒成立，

即在上恒成立，

整理得：

根据基本不等式，得，

不等式上恒成立，

即，解之得或．

综上所述，得a的取值范围为，．

本题给出含有参数的函数，讨论不等式恒成立并求不等式的解集，着重考查了函数恒成立的问题、基本不等式求最值和一元二次不等式的解集等知识．对于恒成立求参的问题，常见的方法有：

变量分离，转化为函数的最值问题.