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向量专题
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1.公式推导
在△中,是边的中点,则.
如图,由
得证.
类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式”。
2.几何意义
向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。
考点探究
【例1】如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1则·的值是____.
【例2】如图,在同一平面内,点A位于两平行直线m,n的同侧,且A到m,n的距离分别为1,3,点B,C分别在m,n上,|+|=5,则·的最大值是___.
题组训练
1.如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5,若·=-7,则·的值是____.
2.在△ABC中,M是边BC的中点AM=3,BC=10,·=____.
3.在△ABC中,点E,F分别是线段AB,AC的中点,点P在直线EF上,若△ABC的面积为2,则·+2的最小值是____.
4.在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠A=60°,若点P满足=+λ,且·=1,则实数λ的值为___
5.在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C为弧上的动点,AB与OC交于点P,则·的最小值是____.
6.已知为圆的直径,为圆的弦上一动点,,,则的取值范围是▲.
7.如图,在四边形中,,,为的中点.
(1)若,求的面积;
(2)若,求的值.
8.如图,在中,已知,点分别在边上,且,若为的中点,则的值为________.
9.如图,在平面四边形ABCD中,,,,.若点M为边BC上的动点,则的最小值为▲.
10.在△中,已知,,则的最大值为.
11.在中,点分别是线段的中点,点在直线上,若的面积为2,则的最小值是_____________.
向量专题答案
1.公式推导
在△中,是边的中点,则.
如图,由
得证.
类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式”。
2.几何意义
向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。
考点探究
【例1】如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1则·的值是____.
【解析】法一(坐标法)以直线BC为x轴,过点D且垂直于BC的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xoy,如图:
设A(3a,3b),B(-c,0),C(-c,0),则有E(2a,2b),F(a,b) ·=(3a+c,3b)·(3a-c,3b)=9a2-c2+9b2=4 ·=(a+c,b)·(a-c,b)=a2-c2+b2=-1,则a2+b2=,c2= ·=·=4a2-c2+4b2=.
法二(基向量)·====4
·=·==-1,因此2=,=,·=·===.
【例2】如图,在同一平面内,点A位于两平行直线m,n的同侧,且A到m,n的距离分别为1,3,点B,C分别在m,n上,|+|=5,则·的最大值是___.
【解析】 法一(坐标法):
以直线n为x轴,过点A且垂直于n的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,如图:
则A,C,B,则=,=,从而2+2=52,即2=9,又·=bc+3≤+3=,当且仅当b=c时,等号成立.
法二(极化恒等式):
连接BC,取BC的中点D,
·=AD2-BD2,又AD==,故·=-BD2=-BC2,又因为BCmin=3-1=2,所以max=.
题组训练
1.如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5,若·=-7,则·的值是____.
【解析】因为·=2-2=9-2=-7⇒2=16,所以·=2-2=25-16=9.
2.在△ABC中,M是边BC的中点AM=3,BC=10,·=____.
【解析】·==2-2=9-×100=-16.
3.在△ABC中,点E,F分别是线段AB,AC的中点,点P在直线EF上,若△ABC的面积为2,则·+2的最小值是____.
【解析】取BC边的中点M,连接PM,设点P到BC边的距离为h.则S△ABC=··2h=2⇒=,PM≥h,所以·+2=+2=2+2=2+≥h2+≥2(当且仅当=h,h2=时,等号成立)
4.在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠A=60°,若点P满足=+λ,且·=1,则实数λ的值为___
【解析】因为=+λ⇒=-=λ,
所以·=λ·=λ·[(+λ)-]=λ2+λ·=4λ+λ=1,故λ=1或-.
5.在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C为弧上的动点,AB与OC交于点P,则·的最小值是____.
【解析】
如图取OB的中点D,连结PD
·=PD2-OD2=PD2-,
即求PD的最小值.
由图可知:
当PD⊥AB时,PDmin=,
则·的最小值是-.
6.已知为圆的直径,为圆的弦上一动点,,,则的取值范围是▲.
【解析】
如图
7.如图,在四边形中,,,为的中点.
(1)若,求的面积;
(2)若,求的值.
【解析】
(1),,
,
.
(2)
8.如图,在中,已知,点分别在边上,且,若为的中点,则的值为________.
【解析】取的中点,连接,则,
在中,
,
9.如图,在平面四边形ABCD中,,,,.若点M为边BC上的动点,则的最小值为▲.
【解析】
设是的中点,作于,延长交的延长线于,
由题意可得:
.
则,
所以.
10.在△中,已知,,则的最大值为.
【解析】设是的中点,连接,点是△的外心,连接并延长交圆于,
由△是等边三角形,,
则
所以.
11.在中,点分别是线段的中点,点在直线上,若的面积为2,则的最小值是_____________.
【解析】取中点
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