届普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学密卷五含附加题 Word版含答案Word文档格式.docx
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14.已知函数,关于x的方程有5个不同的实数解,则的取值范围是________.
二.解答题:
本大题共6小题,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.的内角A,B,C所对的边分别为,,,,,向量与向量平行.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若,,求的面积.
16.如图,已知正方形ABCD的边长为2,E为边AB的中点,将正方形沿DE折成直二面角,连接AC,AB,得到四棱锥,F为的中点.
(Ⅰ)求证:
平面ABC;
(Ⅱ)求四面体FBEC的体积.
17.某公园有一块边长为6百米的正空地,拟将它分割成面积相等的三个区域,用来种植三种花卉.方案是:
先建造一条直道DE将分成面积之比为2∶1的两部分(点D,E分别在边AB,AC上);
再取DE的中点M,建造直道AM(如图).设,,(单位:
百米)
(Ⅰ)分别求,关于的函数关系式;
(Ⅱ)试确定点D的位置,使两条直道的长度之和最小,并求最小值.
18.如图,椭圆E:
,经过E的左焦点F,斜率为的直线与E交于A,B两点.
(Ⅰ)当时,求;
(Ⅱ)给定,延长,分别与椭圆E交于点C,D,设直线CD的斜率为.
证明:
为定值,并求此定值.
19.已知函数,.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求证:
函数恰有两个零点.
20.给定数列,,…,,对,2,…,,该数列前项,,…,的最小值记为,后项,,…,的最大值记为,令.
(Ⅰ)设数列为2,1,6,3写出,,的值;
(Ⅱ)设,,…,是等比数列,公比,且,证明:
,,…,是等比数列;
(Ⅲ)设,,…,是公差大于0的等差数列,且,证明:
,,…,是等差数列.
数学Ⅱ(附加题)
21【选做题】:
本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-2:
矩阵与变换]
已知二阶矩阵有特征值及其对应的一个特征向量,特征值及其对应的一个特征向量,求矩阵的逆矩阵.
B.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的方程为:
,直线与曲线C交于O,A两点.
(Ⅰ)求直线的普通方程;
(Ⅱ)点P为曲线C上一点,求满足的点P有多少个?
C.[选修4-5:
不等式选讲]
已知函数,.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)当时,恒成立,求实数a的取值范围.
【必做题】第22题、第23题,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.如图,在四棱锥中,平面,底面为平行四边形,,,.
(Ⅰ)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值;
(Ⅱ)求二面角的余弦值的大小.
23.已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
(Ⅰ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(Ⅱ)设为取出的4个球中红球的个数,求的分布列和数学期望.
参考答案:
数学Ⅰ答案
一.填空题
1
2
3
4
5
6
7
336
18
8
9
10
11
12
13
14
二.解答题
15.解:
(Ⅰ)设等差数列的公差d,等比数列的公比为.
由.
∴.
,.
∴,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,,则
①
②
①-②得:
.
又∵∴.
16.解:
(Ⅰ)
取线段AC的中点M,连接MF,MB.
∵F为AD的中点,∴,且.
又∵,且.
∴,.四边形MFEB为平行四边形.
又∵平面ABC,平面ABC.
故平面ABC.
(Ⅱ)在平面ADE中,过点F作于点N.
∵平面平面BEDC.
∴平面BEDC.
在中,,.∴.
又∵F为AD的中点.∴.
17.解:
(Ⅰ)由题意知,,即.
又∵,得.
在中,由余弦定理,得:
在和中,由余弦定理,得:
(1)
(2)
联立
(1)
(2),.
∴,
(Ⅱ)
当且仅当时,取等号.
故当时,两条直道长度之和的最小值百米.
18.解:
(Ⅰ)设,,AB直线方程:
AB直线方程与椭圆方程联立,得:
由韦达定理,
设,,AC直线方程:
AC直线方程与椭圆方程联立,
得:
将代入AC直线方程,得.
同理,得:
;
∴;
19.解:
(Ⅰ)由题意,,.
,故.
∴所求切线方程为:
即:
(Ⅱ),.
由题意,,只需证明恰有两个零点即可.
当时,;
当时,.
∴在单调递增,在单调递减.
∴的最大值为.
令,则
∴在单调递增.
当时,,即,则.
∵.
由,,且在单调递增,可得:
在存在唯一的零点,使得.
又∵在单调递减,,.
故恰有两个零点
所以,当时,函数恰有两个零点.
20.解:
(Ⅰ)由题意,得,,.
(Ⅱ)因为,公比,所以,,…,是递减数列.
因此,对,2,…,,,.
于是对,2,…,,
因此且,
即,,…,是等比数列
(Ⅲ)设为,,…,的公差,则
对,因为,
∴,即
又∵,所以.
从而,,…,是递减数列.因此.
因此.
因此对,2,…,都有,
即,,…,是等差数列.
21.【选做题】
解:
设二阶矩阵,由题意,得:
,.得:
,,,.
又∵,.
即矩阵的逆矩阵.
B.【选修4-4:
坐标系与参数方程】
(Ⅰ)由,消参,得到直线的普通方程.
(Ⅱ)由曲线C的极坐标方程:
可得,
曲线C的直角坐标方程.
圆心C到直线的距离,
∴
由(表示点P到OA的距离)
∵圆心C到直线的距离,
∴在直线的上方的圆上存在一个点P到OA的距离;
在直线的下方的圆上的点到OA的距离最大值为,
∴在直线的下方的圆上存在两个点P到OA的距离.
综上所述,满足题意的点P共3个.
(Ⅰ)由题意知,解不等式
(1)当时,不等式化为,
此时不等式的解;
(2)当时,不等式化为,
(3)当时,不等式化为,
综上所述,原不等式的解集.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,的解集是;
∴实数a的取值范围.
【必做题】
22.解:
(Ⅰ)取C为坐标原点,过点C的PD平行线为z轴,
依题意建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意得,,,,
故,
设平面PAC的法向量,则:
,得.
令,得.
设直线PB与平面PAC所成角为.
故直线PB与平面PAC所成角的正弦值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.
设平面PBC的法向量为,
则即
令,则,.
∵ABCD为平行四边形,且,
∴.∵面ABCD,
又∵,∴面PDC.
∴平面PDC的法向量为.
经判断二面角的平面角为钝角,
∴二面角余弦值的大小为.
23.解:
(Ⅰ)设事件为“甲盒中取出个红球”,事件为“甲盒中取出个红球”;
事件C为“4个球恰有1个红球”
(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3,4.
的分布列:
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