中考中的三角尺问题Word文档下载推荐.docx
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③当CE=1时,此时PE=BE
……9分
(3)MD:
ME=1:
3
A
2、一位同学拿来了两块45°
三角尺ΔACB做了一个探究活动:
将ΔMNK直角顶点M放在ΔABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a。
(1)如图1,两三角尺的重叠部分为ΔACM,则重叠部分的面积为,周长为。
(2)将图1中的ΔMNK绕顶点逆时针旋转45°
,如图2,此时重叠部分的面积为,周长为。
(3)如果将ΔMNK绕M旋转到不同于图1、图2的图形,如图3,猜想此时重叠部分的面积有何变化?
证明你发现的结论。
3、如图1,将两个等腰直角三角板叠放在一起,使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合,并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转。
在旋转过程中,下面三角板的斜边被分成三条线段,我们来研究这三条线段之间的数量关系。
实验与振作:
如图2,如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时,它的斜边恰好旋转到CN的位置,请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形,并涂上阴影。
观察这三个正方形的面积之间的关系。
猜想与探究
如图3,直角ΔABC中,AC=BC,∠ACB=90°
。
M、N是AB边上的点,∠MCN=45°
作DA⊥AB于A,截取DA=NB,并连接DC、DM。
我们来证明线段CD与线段CN相等。
∵∠CAB=∠CBA=45°
,且∵DA⊥AB于A,∴∠DAC=45°
∴∠DAC=∠CBA。
又∴DA=NB,AB=AC,∴ΔCAD≌ΔCNB。
∴CD=CN。
请你继续解答:
(1)线段MD与线段MN相等吗?
为什么?
(2)线段AM、NM与NB有怎样的数量关系?
拓广与应用
如图4,已知线段AB上任意一点M(AM<
MB),是否总能在线段MB上找到一点N,使得分别以AM和BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积。
若能,请在图4中画出N点的位置,并简要说明作法;
4.(2006年内蒙古鄂尔多斯)如图14(),两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起,并且有公共的直角顶点.
(1)将图14()中的绕点顺时针旋转角,在图14()中作出旋转后的(保留作图痕迹,不写作法,不证明).
(2)在图14()中,你发现线段,的数量关系是,直线,相交成度角.
(3)将图14()中的绕点顺时针旋转一个锐角,得到图14(),这时
(2)中的两个结论是否成立?
作出判断并说明理由.若绕点继续旋转更大的角时,结论仍然成立吗?
作出判断,不必说明理由.
解:
(1)如图3()(字母位置互换扣1分,无弧扣1分,不连结扣1分,扣完为止)2分
(2);
(每空1分)4分
(3)成立.如图3()
即:
(或由旋转得)5分
6分
7分
延长交于,交于(下面的证法较多)
,8分
9分
旋转更大角时,结论仍然成立.10分
5、如下面两个图,四边形ABCD是正方形,
(1)在图1中,直角三角尺AMN的直角顶固定在A处,在旋转过程中一条直角边和CB的延长线交于一点P,另一条直角边CD交于Q点。
请你通过测量PB和DQ的长度,猜想PB和DQ满足的数量关系和怎样的变换关系,并证明你的猜想。
(2)在图2中,直角三角尺AON的45°
角顶固定在A处,在旋转过程中一条直角边和CB交于点R,斜边AN和CD交于Q点。
请你通过测量BR和RQ及DQ的长度,猜想QR与BR、DQ满足的数量关系,并利用上面的变换方法证明你的猜想。
(1)PB=DQDQ可以绕点A旋转90°
到PB。
23.(2006年河北省课程改革实验区)如图13-1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.
(1)如图13-2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若三角尺GEF旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,
(1)中的猜想还成立吗?
若成立,请证明;
若不成立,请说明理由.
23.解:
(1)BM=FN.
…………………………………………………………………(1分)
证明:
∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=∠F=45°
,OB=OF.
又∵∠BOM=∠FON,∴△OBM≌△OFN.
∴BM=FN.…………………………………………………………(4分)
(2)BM=FN仍然成立.…………………………………………………………(5分)
证明:
∴∠DBA=∠GFE=45°
,OB=OF.
∴∠MBO=∠NFO=135°
.
又∵∠MOB=∠NOF,∴△OBM≌△OFN.
∴BM=FN.………………………………………………………(8分)
23.(2004年河北省课程改革实验区)(本小题满分8分)
用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD、把一个含60°
角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°
角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
⑴ 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图①),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?
并证明你的结论;
⑵ 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图②),你在⑴中得到的结论还成立吗?
简要说明理由.
23.
(1)BE=CF.……………………………………………………………………………2分
在△ABE和△ACF中,
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°
,
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°
,∴△ABE≌△ACF(ASA).………………4分
∴BE=CF.………………………………………………………………………5分
(2)BE=CF仍然成立.
根据三角形全等的判定公理,同样可以证明△ABE和△ACF全等,BE和CF是它们的对应边.所以BE=CF仍然成立.…………………………………………8分
说明:
对于
(2),如果学生仍按照
(1)中的证明格式书写,同样可得本段满分.
23.((2005年河北省课程改革实验区))
如图14—1,14—2,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.
(1)如图14—1,当点E在AB边的中点位置时:
①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是;
②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是;
③请证明你的上述两个猜想.
(2)如图14—2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.
26.(2006年常德市)把两块全等的直角三角形和叠放在一起,使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合,其中,,,把三角板固定不动,让三角板绕点旋转,设射线与射线相交于点,射线与线段相交于点.
(1)如图9,当射线经过点,即点与点重合时,易证.此时, .(2分)
(2)将三角板由图9所示的位置绕点沿逆时针方向旋转,设旋转角为.其中
,问的值是否改变?
说明你的理由.(5分)
(3)在
(2)的条件下,设,两块三角板重叠面积为,求与的函数关系式.(图10,图11供解题用)(6分)
26.解:
(1)8
(2)的值不会改变.
理由如下:
在与中,
即
5分
7分
(3)情形1:
当时,,即,此时两三角板重叠部分为四边形,过作于,于,
由
(2)知:
得
于是
10分
情形2:
当时,时,即,此时两三角板重叠部分为,
由于,,易证:
即解得
综上所述,当时,
当时,
23.(2006年广东省梅州市)用两个全等的正方形和拼成一个矩形,把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合,且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转.
(1)当直角三角尺的两直角边分别与矩形的两边相交于点时,如图甲,通过观察或测量与的长度,你能得到什么结论?
并证明你的结论.
(2)当直角三角尺的两直角边分别与的延长线,的延长线相交于点时(如图乙),你在图甲中得到的结论还成立吗?
简要说明理由.
(1).
四边形和都是正方形,
,
,,
,
.
(2)结论仍然成立.
同理可证,
.
24、如图中,四边形ABCD是由等边三角形ABD与顶角∠BCD为120°
的等腰三角形BCD拼成,三角尺CEF中,∠ECF=60°
(1)如图1,三角尺的一边CE与边AB交于点M,另一边CF交边AD于点N,量一量线段BM、MN、DN的长,换个位置试一试,猜想这三条线段之间满足的数量关系,并证明。
G
E
(2)如图2,将三角尺绕点C转动,使边CE交边BA的延长线于点M,另一边CF交AD的延长线于点N,写出线段BM、MN、DN之间满足的数量关系,并证明。
、
(1)△BCG≌△CDN;
CG=CN;
△MCG≌△MCN;
6、已知:
将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点。
将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角a(0°
<
a<
90°
),在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC相交于点N,分别过点M、N作直线AB的垂线,垂足为G、H。
(1)当a=30°
时(如图②),求证:
AG=DH;
(2)当a=60°
时(如图),
(1)中的结论是否成立?
请写出你的结论,并说明理由;
(3)当0°
时,
(1)中的结论是否成立?
请写出你的结论,并根据图说明理由。
F
6、
(1)证明:
∵∠A=∠ADM=30°
∴AM=MD,∵∠BDC=90°
-∠ADM=60°
=∠B,∴CB=CD,
∵MG⊥AD,NH⊥BD,∴AG=,DH=,∵AD=BD,∴AG=DH
(2)结论成立。
△AMD≌△DNB,∴AM=DN;
△AMG≌△DNH,∴AG=DN
(3)结论成立。
Rt△AMG≌Rt△DN
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