动力学中三种典型物理模型文档格式.docx
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①可能一直加速
②可能先加速后匀速
情景2
①v0>
v,可能一直减速,也可能先减速再匀速
②v0=v,一直匀速
③v0<
v时,可能一直加速,也可能先加速再匀速
情景3
①传送带较短时,滑块一直减速到达左端
②传送带较长时,滑块还要被传送带传回右端.其中v0>
v返回时速度为v,当v0<
v返回时速度为v0
2.倾斜传送带模型
③可能先以a1加速后以a2加速
三、“滑块—木板”模型
1.模型特点
滑块(视为质点)置于长木板上,滑块和木板均相对地面运动,且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动.
2.两种位移关系
滑块从木板的一端运动到另一端的过程中,若滑块和木板向同一方向运动,则滑块的位移和木板的位移之差等于木板的长度;
若滑块和木板向相反方向运动,则滑块的位移和木板的位移之和等于木板的长度.
命题点一 “等时圆”模型
例1 如图3所示,ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆,a、b、c、d位于同一圆周上,a点为圆周的最高点,d点为圆周的最低点.每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出),三个滑环A、B、C分别从a、b、c处由静止开始释放,用t1、t2、t3依次表示滑环A、B、C到达d点所用的时间,则( )
图3
A.t1<
t2<
t3B.t1>
t2>
t3C.t3>
t1>
t2D.t1=t2=t3
答案 D
解析 如图所示,滑环在下滑过程中受到重力mg和杆的支持力FN作用.设杆与水平方向的夹角为θ,根据牛顿第二定律有mgsinθ=ma,得加速度大小a=gsinθ.设圆周的直径为D,则滑环沿杆滑到d点的位移大小x=Dsinθ,x=at2,解得t=.可见,滑环滑到d点的时间t与杆的倾角θ无关,即三个滑环滑行到d点所用的时间相等,选项D正确.
变式1 如图4所示,位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点,与竖直墙相切于A点.竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°
,C是圆环轨道的圆心.已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点;
c球由C点自由下落到M点.则( )
图4
A.a球最先到达M点
B.b球最先到达M点
C.c球最先到达M点
D.b球和c球都可能最先到达M点
答案 C
解析 设圆轨道半径为R,据“等时圆”理论,ta==2,tb>
ta,c球做自由落体运动tc=,C选项正确.
命题点二 “传送带”模型
1.水平传送带
水平传送带又分为两种情况:
物体的初速度与传送带速度同向(含物体初速度为0)或反向.
在匀速运动的水平传送带上,只要物体和传送带不共速,物体就会在滑动摩擦力的作用下,朝着和传送带共速的方向变速(若v物<
v传,则物体加速;
若v物>
v传,则物体减速),直到共速,滑动摩擦力消失,与传送带一起匀速,或由于传送带不是足够长,在匀加速或匀减速过程中始终没达到共速.
计算物体与传送带间的相对路程要分两种情况:
①若二者同向,则Δs=|s传-s物|;
②若二者反向,则Δs=|s传|+|s物|.
2.倾斜传送带
物体沿倾角为θ的传送带传送时,可以分为两类:
物体由底端向上运动,或者由顶端向下运动.解决倾斜传送带问题时要特别注意mgsinθ与μmgcosθ的大小和方向的关系,进一步判断物体所受合力与速度方向的关系,确定物体运动情况.
例2 如图5所示为车站使用的水平传送带模型,其A、B两端的距离L=8m,它与水平台面平滑连接.现有物块以v0=10m/s的初速度从A端水平地滑上传送带.已知物块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.6.试求:
图5
(1)若传送带保持静止,物块滑到B端时的速度大小?
(2)若传送带顺时针匀速转动的速率恒为12m/s,则物块到达B端时的速度大小?
(3)若传送带逆时针匀速转动的速率恒为4m/s,且物块初速度变为v0′=6m/s,仍从A端滑上传送带,求物块从滑上传送带到离开传送带的总时间?
答案
(1)2m/s
(2)12m/s (3)s
解析
(1)设物块的加速度大小为a,由受力分析可知
FN=mg,Ff=ma,Ff=μFN
得a=6m/s2
传送带静止,物块从A到B做匀减速直线运动,
又x==m>
L=8m,
则由vB2-v02=-2aL
得vB=2m/s
(2)由题意知,物块先加速到v1=12m/s
由v12-v02=2ax1,得x1=m<
L=8m
故物块先加速后匀速运动
即物块到达B时的速度为vB′=v1=12m/s
(3)由题意可知,物块先向右减速后向左加速
①向右减速到v2=0时
由v22-v0′2=-2ax2得x2=3m
由v2=v0′-at1得t1=1s
②向左加速到v3=4m/s时
由v32-v22=2ax3得x3=m<
x2=3m
故向左先加速后匀速
由v3=v2+at2得t2=s
③向左匀速运动v4=v3=4m/s
x4=x2-x3=m
由x4=v4t3得t3=s
故t=t1+t2+t3=s
变式2 (2018·
湖北荆州模拟)如图6所示为货场使用的传送带的模型,传送带倾斜放置,与水平面夹角为θ=37°
,传送带AB足够长,传送皮带轮以大小为v=2m/s的恒定速率顺时针转动.一包货物以v0=12m/s的初速度从A端滑上倾斜传送带,若货物与皮带之间的动摩擦因数μ=0.5,且可将货物视为质点.(g=10m/s2,已知sin37°
=0.6,cos37°
=0.8)
图6
(1)求货物刚滑上传送带时加速度为多大?
(2)经过多长时间货物的速度和传送带的速度相同?
这时货物相对于地面运动了多远?
(3)从货物滑上传送带开始计时,货物再次滑回A端共用了多长时间?
答案
(1)10m/s2,方向沿传送带向下
(2)1s 7m
(3)(2+2)s
解析
(1)设货物刚滑上传送带时加速度为a1,货物受力如图所示:
根据牛顿第二定律得
沿传送带方向:
mgsinθ+Ff=ma1
垂直传送带方向:
mgcosθ=FN
又Ff=μFN
由以上三式得:
a1=g(sinθ+μcosθ)=10×
(0.6+0.5×
0.8)m/s2=10m/s2,方向沿传送带向下.
(2)货物速度从v0减至传送带速度v所用时间设为t1,位移设为x1,则有:
t1==1s,x1=t1=7m
(3)当货物速度与传送带速度相等时,由于mgsinθ>μmgcosθ,此后货物所受摩擦力沿传送带向上,设货物加速度大小为a2,则有mgsinθ-μmgcosθ=ma2,
得:
a2=g(sinθ-μcosθ)=2m/s2,方向沿传送带向下.
设货物再经时间t2,速度减为零,则t2==1s
货物沿传送带向上滑的位移x2=t2=1m
则货物上滑的总距离为x=x1+x2=8m.
货物到达最高点后将沿传送带匀加速下滑,下滑加速度大小等于a2.设下滑时间为t3,则x=a2t32,代入解得t3=2s.
所以货物从A端滑上传送带到再次滑回A端的总时间为t=t1+t2+t3=(2+2)s.
命题点三 “滑块—木板”模型
如图7所示,解决此模型的基本思路如下:
图7
运动状态
板块速度不相等
板块速度相等瞬间
板块共速运动
处理方法
隔离法
假设法
整体法
具体步骤
对滑块和木板进行隔离分析,弄清每个物体的受力情况与运动过程
假设两物体间无相对滑动,先用整体法算出一起运动的加速度,再用隔离法算出其中一个物体“所需要”的摩擦力Ff;
比较Ff与最大静摩擦力Ffm的关系,若Ff>
Ffm,则发生相对滑动
将滑块和木板看成一个整体,对整体进行受力分析和运动过程分析
临界条件
①两者速度达到相等的瞬间,摩擦力可能发生突变
②当木板的长度一定时,滑块可能从木板滑下,恰好滑到木板的边缘,二者共速是滑块滑离木板的临界条件
相关知识
时间及位移关系式、运动学公式、牛顿运动定律、动能定理、功能关系等
例3 (2017·
全国卷Ⅲ·
25)如图8,两个滑块A和B的质量分别为mA=1kg和mB=5kg,放在静止于水平地面上的木板的两端,两者与木板间的动摩擦因数均为μ1=0.5;
木板的质量为m=4kg,与地面间的动摩擦因数为μ2=0.1.某时刻A、B两滑块开始相向滑动,初速度大小均为v0=3m/s.A、B相遇时,A与木板恰好相对静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,取重力加速度大小g=10m/s2.求:
图8
(1)B与木板相对静止时,木板的速度;
(2)A、B开始运动时,两者之间的距离.
答案
(1)1m/s,方向与B的初速度方向相同
(2)1.9m
解析
(1)滑块A和B在木板上滑动时,木板也在地面上滑动.设A、B和木板所受的摩擦力大小分别为Ff1、Ff2和Ff3,A和B相对于地面的加速度大小分别为aA和aB,木板相对于地面的加速度大小为a1.在滑块B与木板达到共同速度前有
Ff1=μ1mAg①
Ff2=μ1mBg②
Ff3=μ2(m+mA+mB)g③
由牛顿第二定律得
Ff1=mAaA④
Ff2=mBaB⑤
Ff2-Ff1-Ff3=ma1⑥
设在t1时刻,B与木板达到共同速度,其大小为v1.由运动学公式有
v1=v0-aBt1⑦
v1=a1t1⑧
联立①②③④⑤⑥⑦⑧式,代入已知数据得
v1=1m/s,方向与B的初速度方向相同⑨
(2)在t1时间间隔内,B相对于地面移动的距离为
sB=v0t1-aBt12⑩
设在B与木板达到共同速度v1后,木板的加速度大小为a2.对于B与木板组成的系统,由牛顿第二定律有
Ff1+Ff3=(mB+m)a2⑪
由①②④⑤式知,aA=aB;
再由⑦⑧式知,B与木板达到共同速度时,A的速度大小也为v1,但运动方向与木板相反.由题意知,A和B相遇时,A与木板的速度相同,设其大小为v2.设A的速度大小从v1变到v2所用的时间为t2,则由运动学公式,对木板有
v2=v1-a2t2⑫
对A有:
v2=-v1+aAt2⑬
在t2时间间隔内,B(以及木板)相对地面移动的距离为
s1=
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