高考数学大一轮复习不等式选讲课时达标检测六十六不等式的证明理Word文档格式.docx

高考数学大一轮复习不等式选讲课时达标检测六十六不等式的证明理Word文档格式.docx

《高考数学大一轮复习不等式选讲课时达标检测六十六不等式的证明理Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习不等式选讲课时达标检测六十六不等式的证明理Word文档格式.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

＋×

＝.

（2）由

（1）得a2<

，b2<

.

因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝（1－8ab＋16a2b2）－4（a2－2ab＋b2）＝（4a2－1）（4b2－1）>

0.

所以|1－4ab|2>

4|a－b|2，故|1－4ab|>

2|a－b|.

3．（xx·

广州模拟）已知定义在R上的函数f（x）＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）<

2成立．

（1）求实数m的值；

（2）若α，β≥1，f（α）＋f（β）＝4，求证：

＋≥3.

（1）因为|x－m|＋|x|≥|（x－m）－x|＝|m|.

要使不等式|x－m|＋|x|<

2有解，则|m|<

2，解得－2<

m<

2.

因为m∈N*，所以m＝1.

（2）因为α，β≥1，f（x）＝2x－1（x≥1），

所以f（α）＋f（β）＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3，

所以＋＝（α＋β）

＝

≥＝3.

（当且仅当＝，即α＝2，β＝1时等号成立）

故＋≥3.

4．

（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：

a3＋b3>

a2b＋ab2；

（2）已知a，b，c都是正数，求证：

≥abc.

证明：

（1）（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＝（a＋b）（a－b）2.

因为a，b都是正数，

所以a＋b>

又因为a≠b，

所以（a－b）2>

于是（a＋b）（a－b）2>

0，

即（a3＋b3）－（a2b＋ab2）>

所以a3＋b3>

a2b＋ab2.

（2）因为b2＋c2≥2bc，a2>

所以a2（b2＋c2）≥2a2bc.①

同理，b2（a2＋c2）≥2ab2c.②

c2（a2＋b2）≥2abc2.③

①②③相加得2（a2b2＋b2c2＋c2a2）≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc（a＋b＋c）．

由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>

因此≥abc（当且仅当a＝b＝c时取等号）．

5．已知x，y∈R，且|x|<

1，|y|<

1.

求证：

∵≤

＝≤＝1－|xy|，

∴＋≥≥，

∴原不等式成立．

6．（xx·

长沙模拟）设α，β，γ均为实数．

|cos（α＋β）|≤|cosα|＋|sinβ|，|sin（α＋β）|≤|cosα|＋|cosβ|；

（2）若α＋β＋γ＝0，证明：

|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.

（1）|cos（α＋β）|＝|cosαcosβ－sinαsinβ|≤|cosαcosβ|＋|sinαsinβ|≤|cosα|＋|sinβ|；

|sin（α＋β）|＝|sinαcosβ＋cosαsinβ|≤|sinαcosβ|＋|cosαsinβ|≤|cosα|＋|cosβ|.

（2）由

（1）知，|cos[α＋（β＋γ）]|≤|cosα|＋|sin（β＋γ）|≤|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|，

而α＋β＋γ＝0，故|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥cos0＝1.

7．（xx·

重庆模拟）设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.

（1）2ab＋bc＋ca＋≤；

（2）＋＋≥2.

（1）因为1＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，

当且仅当a＝b时等号成立，

所以2ab＋bc＋ca＋＝（4ab＋2bc＋2ca＋c2）≤.

（2）因为≥，≥，≥，

当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．

所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2，

8．（xx·

贵阳模拟）已知函数f（x）＝2|x＋1|＋|x－2|.

（1）求f（x）的最小值m；

（2）若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：

＋＋≥3.

（1）当x<

－1时，f（x）＝－2（x＋1）－（x－2）＝－3x∈（3，＋∞）；

当－1≤x<

2时，f（x）＝2（x＋1）－（x－2）＝x＋4∈[3,6）；

当x≥2时，f（x）＝2（x＋1）＋（x－2）＝3x∈[6，＋∞）．

综上，f（x）的最小值m＝3.

a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，

因为＋＋＋（a＋b＋c）

＝＋＋

≥2＝2（a＋b＋c）．

（当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号）

所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.

2019-2020年高考数学大一轮复习升级增分训练三角函数与平面向量文

1．（xx·

宜春中学与新余一中联考）已知等腰△OAB中，|OA|＝|OB|＝2，且|＋|≥||，那么·

的取值范围是（　　）

A．[－2,4）　　　　　　　　　B．（－2,4）

C．（－4,2）D．（－4,2]

解析：

选A　依题意，（＋）2≥（－）2，

化简得·

≥－2，

又根据三角形中，两边之差小于第三边，

可得||－||＜||＝|－|，

两边平方可得（||－||）2＜（－）2，

化简可得·

＜4，∴－2≤·

＜4．

2．（xx·

江西赣南五校二模）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2＝＋且||＝||，则向量在方向上的投影为（　　）

A．B．

C．－D．－

选A　由2＝＋可知O是BC的中点，

即BC为△ABC外接圆的直径，

所以||＝||＝||，由题意知||＝||＝1，

故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°

．

所以向量在方向上的投影为||·

cos∠ABC＝1×

cos60°

＝．故选A．

石家庄质检）设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin（2α－β）＋sin（α－2β）的取值范围为（　　）

A．[－，1]B．[－1，]

C．[－1,1]D．[1，]

选C　∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1，

即sin（α－β）＝1，α，β∈[0，π]，

∴α－β＝，又

则≤α≤π，

∴sin（2α－β）＋sin（α－2β）

＝sin＋sin（α－2α＋π）

＝cosα＋sinα＝sin，

∵≤α≤π，∴≤α＋≤，

∴－1≤sin≤1，

即所求取值范围为[－1,1]．故选C．

4．（xx·

湖南岳阳一中4月月考）设a，b为单位向量，若向量c满足|c－（a＋b）|＝|a－b|，则|c|的最大值是（　　）

A．1B．

C．2D．2

选D　∵向量c满足|c－（a＋b）|＝|a－b|，

∴|c－（a＋b）|＝|a－b|≥|c|－|a＋b|，

∴|c|≤|a＋b|＋|a－b|≤＝＝2．

当且仅当|a＋b|＝|a－b|，

即a⊥b时，（|a＋b|＋|a－b|）max＝2．

∴|c|≤2．∴|c|的最大值为2．

5．（xx·

天津高考）已知函数f（x）＝sin2＋sinωx－（ω＞0），x∈R．若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）

A．B．∪

C．D．∪

选D　f（x）＝＋sinωx－

＝（sinωx－cosωx）＝sin．

因为函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，

所以＞2π－π，

即＞π，所以0＜ω＜1．

当x∈（π，2π）时，

ωx－∈，

若函数f（x）在区间（π，2π）内有零点，

则ωπ－＜kπ＜2ωπ－（k∈Z），

即＋＜ω＜k＋（k∈Z）．

当k＝0时，＜ω＜；

当k＝1时，＜ω＜．

所以函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点时，

0＜ω≤或≤ω≤．

全国乙卷）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），x＝－为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（　　）

A．11B．9

C．7D．5

选B　由题意得

则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－．

若ω＝11，则φ＝－，

此时f（x）＝sin，f（x）在区间上单调递增，

在区间上单调递减，

不满足f（x）在区间上单调；

若ω＝9，则φ＝，

此时f（x）＝sin，满足f（x）在区间上单调递减，故选B．

贵州适应性考试）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a2＋c2＝ac＋b2，b＝，且a≥c，则2a－c的最小值是________．

由a2＋c2－b2＝2accosB＝ac，

所以cosB＝，则B＝60°

，又a≥c，

则A≥C＝120°

－A，

所以60°

≤A＜120°

＝＝＝＝2，

则2a－c＝4sinA－2sinC

＝4sinA－2sin（120°

－A）

＝2sin（A－30°

），

当A＝60°

时，2a－c取得最小值．

答案：

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝c，当tan（A－B）取最大值时，角B的值为______．

由acosB－bcosA＝c及正弦定理，

得sinAcosB－sinBcosA＝sinC

＝sin（A＋B）＝（sinAcosB＋cosAsinB），

整理得sinAcosB＝3cosAsinB，

即tanA＝3tanB，

易得tanA＞0，tanB＞0，

∴tan（A－B）＝＝

＝≤＝，

当且仅当＝3tanB，

即tanB＝时，tan（A－B）取得最大值，

此时B＝．

9．（xx·

浙江高考）已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2．若对任意单位向量e，均有|a·

e|＋|b·

e|≤，则a·

b的最大值是________．

由于e是任意单位向量，可设e＝，

则|a·

e|＝＋

≥

＝＝|a＋b|．

∵|a·

e|≤，∴|a＋b|≤，

∴（a＋b）2≤6，∴|a|2＋|b|2＋2a·

b≤6．

∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋4＋2a·

b≤6，

∴a·

b≤，∴a·

b的最大值为．

10．（xx·

湖北省七市（州）协作体联考）已知函数f（x）＝sinx＋cosx（x∈R）．

（1）若α∈[0，π]且f（α）＝2，求α；

（2）先将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，求θ的最小值．

（1）f（x）＝sinx＋cosx

＝2

＝2sin．

由f（α）＝2，得sin＝，

即α＋＝2kπ＋

或α＋＝2kπ＋，k∈Z．

于是α＝2kπ－或α＝2kπ＋，k∈Z．

又α∈[0，π]，

故α＝．

（2）将y＝f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），

得到y＝2sin的图象，

再将y＝2sin图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，

得到y＝2sin的