高中数学第一章常用逻辑用语12充分条件与必要条件学案新人教A版选修21文档格式.docx
- 文档编号:13891014
- 上传时间:2022-10-14
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:113.34KB
高中数学第一章常用逻辑用语12充分条件与必要条件学案新人教A版选修21文档格式.docx
《高中数学第一章常用逻辑用语12充分条件与必要条件学案新人教A版选修21文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第一章常用逻辑用语12充分条件与必要条件学案新人教A版选修21文档格式.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
若A=B,则p,q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
其中p:
A={x|p(x)成立},q:
B={x|q(x)成立}.
类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件
命题角度1 在常见数学问题中的判断
例1 下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:
a+b=0,q:
a2+b2=0;
(2)p:
四边形的对角线相等,q:
四边形是矩形;
(3)p:
x=1或x=2,q:
x-1=
;
(4)p:
m<
-1,q:
x2-x-m=0无实根;
(5)p:
ab≠0,q:
直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交.
解
(1)∵a+b=0⇏a2+b2=0;
a2+b2=0⇒a+b=0,
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵四边形的对角线相等⇏四边形是矩形;
四边形是矩形⇒四边形的对角线相等,
(3)∵x=1或x=2⇒x-1=
⇒x=1或x=2,∴p是q的充要条件.
(4)若方程x2-x-m=0无实根,则Δ=1+4m<
0,
即m<
-
.∵m<
-1⇒m<
⇏m<
-1,
∴p是q的充分不必要条件.
(5)由ab≠0,即a≠0且b≠0,此时直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交;
又当ax+by+c=0与两坐标轴都相交时,a≠0且b≠0,即ab≠0,故p是q的充要条件.
反思与感悟 判断充分条件和必要条件的方法:
一、定义法;
二、等价命题法,原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题,这一点在充要条件的判断中经常用到;
三、集合法,P是Q的充分不必要条件⇔集合PQ,P是Q的必要不充分条件⇔集合PQ,P是Q的充要条件⇔集合P=Q,P是Q的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q,且P⊉Q;
四、传递法,对于较复杂的关系,常用⇒,⇐,⇏等符号进行传递,画出它们的综合结构图,可降低解题难度.
跟踪训练1 指出下列各题中,p是q的什么条件?
ax2+ax+1>
0的解集是R,q:
0<
a<
4;
|x-2|<
3,q:
<
-1;
A∪B=A,q:
A∩B=B;
q:
解
(1)当a=0时,1>
0满足题意;
当a≠0时,由
可得0<
4.
故p是q的必要不充分条件.
(2)易知p:
-1<
x<
5,q:
5,
所以p是q的充要条件.
(3)因为A∪B=A⇔A∩B=B,所以p是q的充要条件.
(4)由
根据同向不等式相加、相乘的性质,
有
即p⇒q.但
⇏
比如,当α=1,β=5时,
而α<
2,
所以q⇏p,所以p是q的充分不必要条件.
命题角度2 在实际问题中的判断
例2 如图所示的电路图中,“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件?
解 如题图
(1),闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮.反之,若要灯泡B亮,不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.如题图
(2),闭合开关A而不闭合开关C,灯泡B不亮.反之,若要灯泡B亮,则开关A必须闭合,说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.如题图(3),闭合开关A可使灯泡B亮,而灯泡B亮,开关A一定是闭合的,因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件.如题图(4),闭合开关A但不闭合开关C,灯泡B不亮.反之,灯泡B亮也可不必闭合开关A,只要闭合开关C即可,说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.
反思与感悟 “充分”的含义是“有它即可”,“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系,更容易理解和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象,更加明白、透彻.
跟踪训练2 俗语云“好人有好报”,“好人”是“有好报”的( )
A.充分条件B.必要条件
C.既不充分也不必要条件D.无法判断
答案 A
解析 结合该俗语的文化背景,易得选项A符合人们的认识实际.
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 充要条件的探求
例3 求ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是什么?
解
(1)当a=0时,原方程变为2x+1=0,即x=-
,符合要求.
(2)当a≠0时,ax2+2x+1=0为一元二次方程,它有实根的充要条件是Δ≥0,即4-4a≥0,∴a≤1.
①方程ax2+2x+1=0只有一个负根的充要条件是
即
∴a<
0.
②方程ax2+2x+1=0有两个负根的充要条件是
∴0<
a≤1.
综上所述,ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
反思与感悟 探求一个命题的充要条件,可以利用定义法进行探求,即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”,也可以寻求结论的等价命题,还可以先寻求结论成立的必要条件,再证明它也是其充分条件.
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn=(n+1)2+t(t为常数),试问t=-1是否为数列{an}是等差数列的充要条件?
请说明理由.
解 是充要条件.
(充分性)当t=-1时,Sn=(n+1)2-1=n2+2n.
a1=S1=3,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1.
又a1=3适合上式,
∴an=2n+1(n∈N*),
又∵an+1-an=2(常数),
∴数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列.
故t=-1是{an}为等差数列的充分条件.
(必要性)∵{an}为等差数列,
则2a2=a1+a3,解得t=-1,
故t=-1是{an}为等差数列的必要条件.
综上,t=-1是数列{an}为等差数列的充要条件.
命题角度2 充要条件的证明
例4 已知A,B是直线l上的任意两点,O是直线l外一点,求证:
点P在直线l上的充要条件是
=x
+y
,其中x,y∈R,且x+y=1.
证明 ①充分性:
若点P满足
,其中x,y∈R,且x+y=1,消去y,得
+(1-x)
=x(
)+
,
∴
),即
.
∴点P在直线AB上,即点P在直线l上.
②必要性:
设点P在直线l上,则由共线向量基本定理知,
存在实数t,使得
=t
=t(
),
=
+
+t
-t
=(1-t)
令1-t=x,t=y,则
反思与感悟 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明,首先分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,即充分性需要证明“条件”⇒“结论”,必要性需要证明“结论”⇒“条件”.
跟踪训练4 已知ab≠0,求证:
a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0的充要条件.
∵a+b=1,∴b=1-a,
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,
即a3+b3+ab-a2-b2=0.
∵a3+b3+ab-a2-b2=0,
∴(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
∴(a2-ab+b2)(a+b-1)=0.
∵ab≠0,∴a≠0且b≠0,
∴a2-ab+b2≠0.
∴a+b-1=0,∴a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0的充要条件.
类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)
例5 已知函数f(x)=
的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<
1)的定义域为B.
(1)求A;
(2)记p:
x∈A,q:
x∈B,若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解
(1)要使f(x)有意义,则3-(x+2)(2-x)≥0,
化简整理得(x+1)(x-1)≥0,
解得x≤-1或x≥1,
∴A={x|x≤-1或x≥1}.
(2)要使g(x)有意义,则(x-a-1)(2a-x)>
即(x-a-1)(x-2a)<
又∵a<
1,∴a+1>
2a,
∴B={x|2a<
a+1}.
∵p是q的必要不充分条件,
∴BA,
∴2a≥1或a+1≤-1,
解得
≤a<
1或a≤-2.
∴a的取值范围为(-∞,-2]∪[
,1).
反思与感悟 在有些含参数的充要条件问题中,要注意将条件p和q转化为集合,从而转化为两集合之间的子集关系,再转化为不等式(或方程),从而求得参数的取值范围.
根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤
(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};
(2)若p是q的充分不必要条件,则MN,若p是q的必要不充分条件,则NM,若p是q的充要条件,则M=N;
(3)根据集合的关系列不等式(组);
(4)求出参数的范围.
跟踪训练5 设A={y|y=
,x∈R},B={y|y=
x+m,x∈[-1,1]},记命题p:
“y∈A”,命题q:
“y∈B”,若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围为_____________.
答案 (
)
解析 由题意知A=(0,1),B=[m-
,m+
],依题意,得BA,
故
<
1.人们常说“无功不受禄”,这句话表明“受禄”是“有功”的( )
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 无功不受禄可写为命题:
若无功,则不受禄.逆否命题为:
若受禄,则有功.显然“受禄”是“有功”的充分不必要条件,因为有功不一定受禄.
2.设命题p:
x2-3x+2<
0,q:
≤0,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
解析 命题p:
1<
2;
命题q:
1≤x<
2,故p是q的充分不必要条件.
3.“x2-4x-
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第一章 常用 逻辑 用语 12 充分 条件 必要条件 新人 选修 21
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)