高考数学人教A版理复习教案第二章 函数与基本初等函数 25 对数与对数函数Word格式.docx
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(3)过定点(0,1)
(4)当x>
0时,y>
1;
当x<
0时,0<
y<
(5)当x>
(6)在(-∞,+∞)上是增函数
(7)在(-∞,+∞)上是减函数
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)()4=-4.( ×
)
(2)(-1)=(-1)=.( ×
(3)函数y=a-x是R上的增函数.( ×
(4)函数y=(a>
1)的值域是(0,+∞).( ×
(5)函数y=2x-1是指数函数.( ×
(6)函数y=()1-x的值域是(0,+∞).( √ )
1.若a=(2+)-1,b=(2-)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是( )
A.1B.
C.D.
答案 D
【详细分析】a=(2+)-1=2-,b=(2-)-1=2+,
∴(a+1)-2+(b+1)-2=(3-)-2+(3+)-2
=+=.
2.设函数f(x)=a-|x|(a>
0,且a≠1),f
(2)=4,则( )
A.f(-2)>
f(-1)B.f(-1)>
f(-2)
C.f
(1)>
f
(2)D.f(-2)>
f
(2)
答案 A
【详细分析】∵f(x)=a-|x|(a>
0,且a≠1),f
(2)=4,
∴a-2=4,∴a=,
∴f(x)=-|x|=2|x|,
∴f(-2)>
f(-1).
3.函数f(x)=ax-(a>
0,a≠1)的图象可能是( )
【详细分析】函数f(x)的图象恒过(-1,0)点,只有图象D适合.
4.已知0≤x≤2,则y=-3·
2x+5的最大值为________.
答案
【详细分析】令t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4,
又y=22x-1-3·
2x+5,∴y=t2-3t+5
=(t-3)2+,
∵1≤t≤4,∴t=1时,ymax=.
题型一 指数幂的运算
例1 化简:
(1)(a>
0);
(2)(-)+(0.002)-10(-2)-1+(-)0.
思维点拨 可先将根式化成分数指数幂,再利用幂的运算性质进行计算.
解
(1)原式=
=ab-1.
(2)原式=-+1
=-10(+2)+1
=+10-10-20+1=-.
思维升华
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:
①必须同底数幂相乘,指数才能相加;
②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
(1)化简(x<
0,y<
0)得( )
A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y
(2)=________.
答案
(1)D
(2)
【详细分析】
(1)=
=
==2(-x)2(-y)
=-2x2y.
(2)原式=
题型二 指数函数的图象和性质
例2
(1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>
1,b<
B.a>
1,b>
C.0<
D.0<
(2)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是________.
答案
(1)D
(2)(-∞,4]
(1)由f(x)=ax-b的图象可以观察出函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0<
1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b<
0.
(2)令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间[,+∞)上单调递增,在区间(-∞,]上单调递减.而y=2t为R上的增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].
思维升华
(1)对与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.
(2)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对两层函数分别进行研究.
(1)若函数y=2-x+1+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围是________.
(2)若函数f(x)=ax-1(a>
0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a=________.
答案
(1)(-∞,-2]
(2)
(1)∵y=2-x+1的图象过点(0,2),∴y=2-x+1+m的图象过点(0,2+m),令2+m≤0得m≤-2.
(2)当a>
1时,x∈[0,2],y∈[0,a2-1],
∴a2-1=2,即a=.
当0<
1时,x∈[0,2],y∈[a2-1,0],此时定义域与值域不一致,无解.
综上,a=.
题型三 指数函数的应用
例3
(1)k为何值时,方程|3x-1|=k无解?
有一解?
有两解?
(2)已知定义在R上的函数f(x)=2x-.
①若f(x)=,求x的值;
②若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
解
(1)函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.
当k<
0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解;
当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解;
k<
1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同的交点,所以方程有两解.
(2)①当x<
0时,f(x)=0,无解;
当x≥0时,f(x)=2x-,
由2x-=,得2·
22x-3·
2x-2=0,
看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或-,
∵2x>
0,∴2x=2,即x=1.
②当t∈[1,2]时,2t+m≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1),
∵22t-1>
0,∴m≥-(22t+1),
∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],
故m的取值范围是[-5,+∞).
思维升华 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提,方程f(x)=g(x)解的个数即为函数y=f(x)和y=g(x)图象交点的个数;
解决有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数,搞清复合函数的结构.
(1)如果函数y=a2x+2ax-1(a>
0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为( )
A.B.1
C.3D.或3
(2)若关于x的方程|ax-1|=2a(a>
0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是( )
A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1)
C.(1,+∞)D.
答案
(1)D
(2)D
(1)令ax=t,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当a>
1时,因为x∈[-1,1],所以t∈[,a],又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,
所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(负值舍去).
1时,因为x∈[-1,1],所以t∈[a,],
又函数y=(t+1)2-2在[a,]上单调递增,
则ymax=(+1)2-2=14,解得a=(负值舍去).
综上知a=3或a=.
(2)方程|ax-1|=2a(a>
0且a≠1)有两个实数根转化为函数y=|ax-1|与y=2a有两个交点.
①当0<
1时,如图
(1),则0<
2a<
1,即0<
.
②当a>
1时,如图
(2),而y=2a>
1不符合要求.
综上,0<
忽略对底数的讨论致误
典例:
(12分)已知函数y=(a,b是常数且a>
0,a≠1)在区间[-,0]上有ymax=3,ymin=,试求a、b的值.
易错分析
(1)误认为a>
1,只按一种情况求解,而忽略了0<
1的情况,从而造成失误.当底数不确定时应分类讨论.
(2)搞错或忽视x2+2x的范围造成失误.
解 令t=x2+2x=(x+1)2-1,
∵x∈[-,0],∴t∈[-1,0].[2分]
(1)若a>
1,函数f(x)=at在[-1,0]上为增函数,
∴at∈[,1],则b+a∈[b+,b+1],[4分]
依题意得解得[6分]
(2)若0<
1,函数f(x)=at在[-1,0]上为减函数,
∴at∈[1,],
则b+a∈[b+1,b+],[8分]
依题意得解得[10分]
综上,所求a,b的值为或[12分]
温馨提醒
(1)指数函数的底数不确定时,单调性不明确,从而无法确定其最值,故应分a>
1和0<
1两种情况讨论.
(2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时,要熟练掌握指数函数的单调性,搞清复合函数的结构,利用换元法求解时要注意新元的取值范围.
方法与技巧
1.通过指数函数图象比较底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较.
2.指数函数y=ax(a>
0,a≠1)的性质和a的取值有关,一定要分清a>
1与0<
1.
3.对与复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成.
失误与防范
1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来.
2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域.
3.对可化为a2x+b·
ax+c=0或a2x+b·
ax+c≥0(≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.
A组 专项基础训练
(时间:
30分钟)
1.函数f(x)=ax-2+1(a>
0且a≠1)的图象必经过点( )
A.(0,1)B.(1,1)
C.(2,0)D.(2,2)
【详细分析】∵a0=1,∴f
(2)=2,
故f(x)的图象必过点(2,2).
2.已知a=22.5,b=2.50,c=()2.5,则a,b,c的大小关系是( )
c>
bB.c>
b
C.b>
cD.a>
b>
c
【详细分析】a>
20=1,b=1,c<
()0=1,
∴a>
c.
3.若函数f(x)=a|2x-4|(a>
0,a≠1),满足f
(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2]B.[2,+∞)
C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]
答案 B
【详细分析】由f
(1)=得a2=,
∴a=(a=-舍去),即f(x)=()|2x-4|.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,
所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.故选B.
4.已知函数f(x)=是定义域上的递减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(,)B.(,]
C.[,)D.(,]
【详细分析】由题意得
∴<
a≤.
5.已知实数a,b满足等式2015a=2016b,下列五个关系式:
①0<
b<
a;
②a<
0;
③0<
b;
④b<
⑤a=b.其中不可能成立的关系式有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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