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=2个(即1和2两个长度为1的字符串)。
所证结论成立;
[归纳假设]当n=m(1≤m≤k)时,假设所证结论成立。
即,0出现偶数次,长度为m的字符串有
[归纳]当n=k+1时,0出现偶数次,长度为k+1的字符串包括两部分:
(1)给0出现偶数次,长度为k的字符串后面再增加一位不是0的数(只能是1或2),因此,按乘法原理,由归纳假设,此种字符串有
⋅2=3k+1个;
(2)给0出现奇数次,长度为k的字符串后面再增加一位是0的数,因此,按乘法原理,由归纳假设,此种字符串有
⋅1=
所以,按加法原理,0出现偶数次,长度为k+1的字符串共有
(3k+1)+
=
个。
归纳完毕。
方法二:
采用指数型母函数方法
设:
an—0出现偶数次,长度为n的字符串的个数,则{an}的指数型母函数
所以,
(规定a0=1)。
(b)利用组合意义法来证
考虑0出现偶数次,长度为n的字符串的个数。
根据上面(a),已证其个数为
;
另一方面,相当于先从n个位置中选取2m(0≤2m≤n)个(有
种选择)放置上数0,再在剩下的n-2m个位置上放置数1或2(有2n-2m种放法),按乘法原理,是
个,m=0,1,2,⋯,q(
)的方案数。
按加法原理,此方案数为
。
因此,我们有
1-26.在由n个0及n个1构成的字符串中,任意前k个字符中,0的个数不少于1的个数的字符串有多少?
[解].转化为格路问题(弱领先条件—参见P36例4该例是强领先条件)。
即从(0,0)到(n,n),只能从对角线上方走,但可以碰到对角线。
它可看作是从(0,1)到(n,n+1)的强领先条件(只能从对角线上方走,但不可以碰到对角线)的格路问题。
更进一步的,它可看作是从(0,0)到(n,n+1)的强领先条件的格路问题(因为此种格路第一步必到(0,1)格点)。
故这样的字符串有
-
=C(2n,n)-C(2n,n-1)个。
1-27.在1到n的自然数中选取不同且互不相邻的k个数,有多少种选取方案?
[解].设:
g(n,k)为从1~n中选取不同且互不相邻的k个数的方案数。
于是,按这k个数中有无数n而分为两种情况:
(1)若选n,则必不能选n-1,故此种方案数为g(n-2,k-1);
(2)若不选n,则可以选n-1,故此种方案数为g(n-1,k);
所以,按加法原理,总的方案数g(n,k)=g(n-2,k-1)+g(n-1,k)。
且只有当n≥2k-1时,g(n,k)>
0;
否则g(n,k)=0。
因此,可给定初始值:
g(2k-1,k)=1,g(2k-2,k)=0。
2-18.在一圆周上取n个点,每一对顶点可做一弦。
不存在三弦共点的现象,求弦把圆分割成几部分?
[解].(参见P98例6)
设an为过n个点的每两点作一条弦,且不存在三弦共点的现象,弦把圆分割成部分的个数。
其中过n-1个点所作弦把圆分割成的部分为an-1,第n个点可以引出n-1条弦,第一条弦增加一个部分,第二条弦增加1⋅(n-3)+1个部分,第三条弦增加2⋅(n-4)+1个部分,……,第k条弦增加(k-1)⋅(n-k-1)+1个部分,……,第n-1条弦增加(n-1-1)⋅(n-(n-1)-1)+1=1个部分。
故
且
,
从而有
于是
同理可得
故有
对应的特征方程为
即
r=1是5重根
所以
n=2时,a2=A=2
n=3时,a3=A+B=4,
B=2
n=4时,a4=A+2B+C=8,
C=2
n=5时,a5=A+3B+3C+D=16,
D=2
n=6时,a6=A+4B+6C+4D+E=31,
E=1
或
2-19.求n位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数。
an—n位二进制数种相邻两位不出现11的数的个数;
n位二进制数种相邻两位不出现11的数的个数,可分为两个部分:
(1)第n位是0,这时第n-1位既可以是0又可以是1,故从第1位到第n-1位形成n-1位二进制数中相邻两位不出现11的数,相应的数的个数为an-1;
(2)第n位是1,这时第n-1位只能是0,第n-2位既可以是0又可以是1,故从第1位到第n-2位形成n-2位二进制数中相邻两位不出现11的数,相应的数的个数为an-2;
因此,按加法原理,n位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数
an=an-1+an-2。
初始条件a1=2,a2=3
因此,显然有an=Fn+2
所以,n位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数是
2-20.从n个文字中取k个文字作允许重复的排列,但不允许一个文字连续出现三次,求这样的排列的数目。
ak—从n个文字中取k个文字作允许重复的排列,没有一个文字连续出现三次,这样的排列的数目;
从n个文字中取k个文字作允许重复的排列,没有一个文字连续出现三次,这样的排列的数目,可分为两个部分:
(1)第k位与第k-1位不相同,因此,在前k-1位已形成满足条件的k-1位排列时,第k位只能有n-1种选择,相应的排列个数为(n-1)ak-1;
(2)第k位与第k-1位相同,因此,在前k-2位已形成满足条件的k-2位排列时,第k位与第k-1位一起只有n-1种选择,相应的排列个数为(n-1)ak-2;
因此,按加法原理,从n个文字中取k个文字作允许重复的排列,没有一个文字连续出现三次,这样的排列的数目
ak=(n-1)ak-1+(n-1)ak-2。
初始条件:
a1=n,a2=n2,a3=n3-n
方程为:
r2-(n-1)r-(n-1)=0
根为:
故递归方程的通解为:
ak=A⋅αk+B⋅βk
利用方程组:
Aα+Bβ=n
Aα2+Bβ2=n2
利用根α,β满足方程,可得方程组:
解之,得
所以,从n个文字中取k个文字作允许重复的排列,没有一个文字连续出现三次,这样的排列的数目
2.42.设{an}满足an-an-1-an-2=0,{bn}满足bn-2bn-1-bn-2=0,cn=an+bn,n=0,1,2,3,⋯,试证序列{cn}满足一个四阶线性常系数齐次递推关系。
[解]方法一:
(特征系数法)
由于序列{an}满足递推关系:
an-an-1-an-2=0①
故显然也满足递推关系:
(an-an-1-an-2)+A1(an-1-an-2-an-3)+A2(an-2-an-3-an-4)=0
这里A1,A2为任意常数
整理为:
an+(A1-1)an-1+(A2-A1-1)an-2-(A1+A2)an-3-A2an-4=0②
由于序列{bn}满足递推关系:
bn-2bn-1-bn-2=0
故显然也满足递推关系:
(bn-2bn-1-bn-2)+B1(bn-1-2bn-2-bn-3)+B2(bn-2-2bn-3-bn-4)=0
这里B1,B1为任意常数
bn+(B1-2)bn-1+(B2-2B1-1)bn-2-(B1+2B2)bn-3-B2bn-4=0③
令:
解之得:
将此解代入②和③,有:
an-3an-1+3an-3+an-4=0④
bn-3bn-1+3bn-3+bn-4=0⑤
将④+⑤,并注意到cn=an+bn,我们有:
cn-3cn-1+3cn-3+cn-4=0⑥
这就是序列{cn}所满足的四阶线性常系数齐次递推关系。
(特征根法)
序列{an}的递推关系:
an-an-1-an-2=0
特征方程:
γ2-γ-1=0
特征根:
γ1=
,γ2=
故其通解为:
bn=A⋅(
)n+B⋅(
)n
序列{bn}的递推关系:
γ2-2γ-1=0
bn=C⋅(
)n+D⋅(
)n
于是有:
cn=an+bn=A⋅(
)n+C⋅(
因此序列{cn}所满足的线性常系数齐次递推关系的特征多项式为:
(γ-
)(γ-
)[γ-(
)][γ-(
)]=0
(γ2-γ-1)(γ2-2γ-1)=0
再整理为:
γ4-3γ3+3γ+1=0
因此,对应的四阶线性常系数齐次递推关系为:
cn-3cn-1+3cn-3+cn-4=0。
2.43.在习题2.42中,若cn=anbn,试讨论之。
[解](特征根法)
cn=anbn=[A⋅(
)n][C⋅(
)n]
=AC⋅(
)n(
)n+AD⋅(
+BC⋅(
)n+BD⋅(
[γ-
(
)][γ-
)]
[γ2-(
)γ-(
)2][γ2-(
)2]=0
γ4-2γ3-7γ2-2γ+1=0
cn-2cn-1-7cn-2-2cn-3+cn-4=0。
2.44.设{an}和{bn}均满足递推关系xn+b1xn-1+b2xn-2=0,试证:
(a){anbn}满
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