极值点偏移1-2---极值点偏移定理_精品文档Word文档格式.doc
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二、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述:
(1)求出函数的极值点;
(2)构造一元差函数;
(3)确定函数的单调性;
(4)结合,判断的符号,从而确定、的大小关系.
口诀:
极值偏离对称轴,构造函数觅行踪;
四个步骤环相扣,两次单调紧跟随.
2、抽化模型
答题模板:
若已知函数满足,为函数的极值点,求证:
.
(1)讨论函数的单调性并求出的极值点;
假设此处在上单调递减,在上单调递增.[KS5UKS5U.KS5U
(2)构造;
注:
此处根据题意需要还可以构造成的形式.[KS5UKS5U]
(3)通过求导讨论的单调性,判断出在某段区间上的正负,并得出与的大小关系;
假设此处在上单调递增,那么我们便可得出,从而得到:
时,.
(4)不妨设,通过的单调性,,与的大小关系得出结论;
接上述情况,由于时,且,,
故,又因为,
且在上单调递减,从而得到,从而得证.
(5)若要证明,还需进一步讨论与的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.
此处只需继续证明:
因为,故,由于在上单调递减,故.
【说明】
(1)此类试题由于思路固定,所以通常情况下求导比较复杂,计算时须细心;
(2)此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求的单调性、极值点,证明与(或与)的大小关系;
若试题难度较大,则直接给出形如或的结论,让你给予证明,此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[KS5UKS5U.KS5U
三、对点详析,利器显锋芒
★已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若,且,证明:
∵,∴,在上单调递增,∴,∴.
★函数与直线交于、两点.
.
★已知函数,若,且,证明:
【解析】由函数单调性可知:
若,则必有,。
所以,
而,
令,则
所以函数在为减函数,所以,
所以即,所以,所以.
★已知函数有两个零点.设是的两个零点,证明:
四、招式演练
★已知函数,其中为自然对数的底数,是的导函数.
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)若,证明:
当,且时,.
【答案】
(1)当时,无极值;
当时,有极小值;
(2)详见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;
(Ⅱ)求出函数f(x)的导数,设函数F(x)=f(x)﹣f(﹣x),求出函数的导数,根据函数的单调性证明即可.
试题解析:
(Ⅰ)的定义域为,
当时,在时成立
在上单调递增,无极值.
当时,解得
由得;
由得
所以在上单调递减,在上单调递增,
故有极小值.
(Ⅱ)当时,的定义域为,,
由,解得.当变化时,,变化情况如下表:
+
单调递减
极小值
单调递增
∵,且,则(不妨设)
★已知函数,其中
(1)若函数有两个零点,求的取值范围;
(2)若函数有极大值为,且方程的两根为,且,证明:
.
(1);
(2)见解析.
(1)当时,函数在上单调递增,不可能有两个零点
(2)当时,
-
极大值
的极大值为,由得;
因为,
所以在必存在一个零点;
显然当时,,
所以在上必存在一个零点;
[KS5UKS5U]
9
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