有限差分法求解抛物型方程说明_精品文档Word文档下载推荐.docx
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和
(4)
于是给出在点处函数的一阶导数的两个近似公式
(5)
(6)
因为级数被截断,这两个近似公式肯定要产生误差,此误差与同阶,形式分别为
若把式(3)和(4)相加并求,可得
(7)
其截断误差与同阶,形式为
若把式(3)和(4)相减并求,可得
(8)
其截断误差与同阶,其形式为
我们可继续用这种方式来推导更复杂的公式,类似的公式还有很多,这里不再一一列举.公式(5)、(6)分别称为一阶向前、向后差分格式,这两种格式具有一阶计算精度,公式(7)、(8)分别称为一阶、二阶中心差分格式,这两种格式具有二阶计算精度.
图2二维区域网格剖分
上面的结果可直接推广使用于导出二元函数的许多有限差分近似公式.如图7.2,把求解区域进行网格剖分,使
其中方向的网格间距为方向的网格间距为整数和分别表示函数沿坐标和坐标的位置.
二元函数对求偏导时保持不变,对求偏导时保持不变,根据向前差分公式(7.5)可以给出在点处函数的一阶偏导数的两个近似公式
(9)
(10)
相类似地,根据二阶中心差分格式(8)可以得到函数的二阶偏导数的近似公式
(11)
(12)
下面我们推导函数的二阶混合偏导数在的有限差分表达式.根据一阶中心差分格式(7),
二维有限差分近似可以直接推广到三维空间或三维空间加一维时间的情形.
定义1当步长趋于零时,差分方程的截断误差趋于零,则称差分格式与微分方程是相容的.
定义2当步长趋于零时,差分方程的解收敛于微分方程的解,则称差分格式是收敛的.
定义3当差分方程的解由于舍入误差的影响,所产生的偏差可以得到控制时,则称差分格式是稳定的.
2抛物型方程的有限的差分法
为了说明如何使用有限差分法来求解偏微分方程,本节我们给出以下几个数值实例.
算例1考虑一维非齐次热传导方程的初边值问题:
(7.13),
其中函数初始条件左、右边界条件分别为.
该定解问题的解析解为
将求解区域进行网格剖分,作等分,作等分,记则
对该问题建立如下向前差分格式:
(14)
(15)
(16)
令,差分格式(7.14)整理得
(17)
显然时间在上的每个逼近值可独立地由层上的值求出。
该格式为显格式,采用显格式时,应注意时间步长和空间步长的选取,当时向前差分格式是稳定的.我们采用步长和,选取时的数据进行比较,得到精确解与近似解的最大误差是.
表1算例1时节点处数值解、精确解和误差的绝对值(显式格式)
节点
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
近似解
0.247404
0.273452
0.302232
0.334031
0.369167
精确解
0.273424
0.302180
0.333960
0.369083
绝对误差(10-4)
0.283544
0.522966
0.710491
0.838755
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.407990
0.450888
0.498290
0.550670
0.608551
0.407900
0.450799
0.498210
0.550608
0.608516
0.900670
0.889648
0.799435
0.624388
0.359370
数值解与精确解的比较见下图:
图3t=0.25精确解与近似解的比较图4t=0.25精确解与近似解的绝对误差
对该问题还可建立如下向后差分格式:
(18)
差分格式(14)整理得
(19)
显然时间在层上的逼近值需要通过求解一个三对角线性方程组得到。
该格式为隐格式,该隐格式对于任意网格比都是稳定的.我们采用步长和,选取时的数据进行比较,得到精确解与近似解的最大误差是.
数值解与精确解的比较结果如下图:
图5t=0.25精确解与近似解的比较图6t=0.25精确解与近似解的绝对误差
算例2考虑一维非线性Chaffee-Infante方程的初边值问题:
(20)
其中扩散系数初始条件左右边界条件分别为:
.
该问题的解析解为.
将求解区域进行剖分,方法同上,对该问题建立如下向前差分格式:
采用步长和我们选取时的数据进行比较,得到精确解与近似解的最大误差是.
表2算例2时节点处数值解、精确解和误差的绝对值
0.222700
0.210675
0.199136
0.188083
0.177512
0.210700
0.199181
0.188141
0.177578
0.251725
0.446334
0.583481
0.663365
0.167417
0.157791
0.148625
0.139910
0.131632
0.167486
0.157856
0.148682
0.139952
0.131656
0.686628
0.654312
0.567756
0.428588
0.238650
运行结果如下图,
图7t=0.5精确解与近似解的比较图8t=0.5精确解与近似解的绝对误差
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