扩展卡尔曼滤波EKF_精品文档Word文档下载推荐.doc
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非线性系统离散动态方程可以表示为
(3-1-1)
(3-1-2)
这里为了便于数学处理,假定没有控制量的输入,并假定过程噪声是均值为零的高斯白噪声,且噪声分布矩阵是已知的。
其中,观测噪声也是加性均值为零的高斯白噪声。
假定过程噪声和观测噪声序列是彼此独立的,并且有初始状态估计和协方差矩阵。
和线性系统的情况一样,我们可以得到扩展Kalman滤波算法如下
(3-1-3)
(3-1-4)
(3-1-5)
(3-1-6)
(3-1-7)
这里需要重要说明的是,状态转移和量测矩阵是由和的雅克比矩阵代替的。
其雅克比矩阵的求法如下:
假如状态变量有n维,即,则对状态方程对各维求偏导,
(3-1-8)
(3-1-9)
3.2扩展卡尔曼在一维非线性系统中的应用
3.2.1状态方程和观测方程都为非线性的通用系统
所谓的非线性方程,就是因变量和自变量的关系不是线性的,这类方程很多,例如平方关系,对数关系,指数关系,三角函数关系等等。
这类方程可分为两类,一类是多项式方程,一种是非多项式方程。
为了便于说明非线性卡尔曼滤波——扩展Kalman滤波的原理,我们选用一下系统,
系统状态为,它仅包含一维变量,即,系统状态方程为
(3-2-1)
观测方程为
(3-2-2)
其中,式(3-1-1)是包含分式,平方,三角函数在内的严重非线性的方程,为过程噪声,其均值为0,方差为,观测方程中,观测信号与状态的关系也是非线性的,也是均值为0,方差为的高斯白噪声。
因此关于(3-1-1)和(3-2-2)是一个状态和观测都为非线性的一维系统。
以此为通用的非线性方程的代表,接下来讲述如何用扩展Kalman滤波来处理噪声问题。
第一步:
初始化状态,协方差矩阵。
第二步:
状态预测
(3-2-3)
第三步:
观测预测
(3-2-4)
第四步:
一阶线性化状态方程,求解状态转移矩阵
(3-2-5)
第五步:
一阶线性化观测方程,求解观测矩阵
(3-2-6)
第六步:
求协方差矩阵预测
(3-2-7)
这里需要说明的是,当噪声驱动矩阵不存在的时候,或系统状态方程中,在前没有任何驱动矩阵,这时候,必然和状态的维数一样的方阵,可将式(3-2-7)直接写为。
第七步:
求Kalman增益
(3-2-8)
第八步:
求状态更新
(3-2-9)
第九步:
协方差更新
(3-2-10)
以上九步为扩展卡尔曼年滤波的一个计算周期,如此循环下去就是各个时刻EKF对非线性系统的处理过程。
其他参数设置请查看源程序,方阵以上系统得到状态滤波结果,如图3-2-1所示。
滤波后的状态与真值之间的偏差如图图3-2-2所示。
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