高考数学复习22解三角形应用举例文北师大版89Word文档格式.docx
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B.北偏西10°
C.南偏东80°
D.南偏西80°
D [由条件及题图可知,∠A=∠B=40°
,又∠BCD=60°
,所以∠CBD=30°
,所以∠DBA=10°
,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°
.]
3.(2018·
重庆模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°
的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°
,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°
,那么B,C两点间的距离是( )
A.10
海里B.10
海里
C.20
海里D.20
A [如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°
,∠ACB=45°
,根据正弦定理得
=
解得BC=10
(海里).]
4.(2018·
赣州模拟)如图3711所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°
、北偏东45°
方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°
方向,则A,B两处岛屿间的距离为( )【00090120】
图3711
A.20
海里B.40
C.20(1+
)海里D.40海里
A [连接AB,由题意可知CD=40,∠ADC=105°
,∠BDC=45°
,∠BCD=90°
,∠ACD=30°
,∴∠CAD=45°
,∠ADB=60°
在△ACD中,由正弦定理得
,∴AD=20
在Rt△BCD中,∵∠BDC=45°
,∴BD=
CD=40
.
在△ABD中,由余弦定理得AB=
=20
故选A.
]
5.如图3712,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m、50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
图3712
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
B [依题意可得AD=20
(m),AC=30
(m),
又CD=50(m),所以在△ACD中,由余弦定理得
cos∠CAD=
又0°
<
∠CAD<
180°
,所以∠CAD=45°
,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°
二、填空题
6.(2018·
扬州模拟)如图3713,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得∠NAM=60°
,∠CAB=45°
以及∠MAC=75°
;
从C点测得∠MCA=60°
已知山高BC=300米,则山高MN=________米.
图3713
450 [在Rt△ABC中,∵BC=300,∠CAB=45°
∴AC=300
在△AMC中,∠AMC=180°
-75°
-60°
=45°
由正弦定理得:
∴AM=
=300
∴MN=AM·
sin∠MAN=300
×
=450.]
7.如图3714,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°
,再由点C沿北偏东15°
方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°
,则塔AB的高是________米.
图3714
10
[在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°
,∠BCD=15°
+90°
=105°
,∠DBC=30°
,BC=
=10
.在Rt△ABC中,tan60°
,AB=BCtan60°
(米).]
8.如图3715所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15°
方向,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60°
的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75°
的方向,则海轮的速度为________海里/分钟.【00090121】
图3715
[由已知得∠ACB=45°
,∠B=60°
由正弦定理得
所以AC=
所以海轮航行的速度为
(海里/分钟).]
三、解答题
9.某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下办法:
在岸边设置两个观察点A,B,且AB长为80米,当航模在C处时,测得∠ABC=105°
和∠BAC=30°
,经过20秒后,航模直线航行到D处,测得∠BAD=90°
和∠ABD=45°
.请你根据以上条件求出航模的速度.(答案可保留根号)
图3716
[解] 在△ABD中,∵∠BAD=90°
,∠ABD=45°
∴∠ADB=45°
,∴AD=AB=80,∴BD=80
.3分
在△ABC中,
∴BC=
=40
.6分
在△DBC中,DC2=DB2+BC2-2DB·
BCcos60°
=(80
)2+(40
)2-2×
80
40
=9600.
∴DC=40
,航模的速度v=
=2
米/秒.12分
10.如图3717,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°
方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.
图3717
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sinα的值.
[解]
(1)依题意知,∠BAC=120°
,AB=12,AC=10×
2=20,∠BCA=α.
3分
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·
AC·
cos∠BAC
=122+202-2×
12×
20×
cos120°
=784,解得BC=28.
所以渔船甲的速度为
=14海里/小时.7分
(2)在△ABC中,因为AB=12,∠BAC=120°
,BC=28,∠BCA=α,由正弦定理,得
,9分
即sinα=
.12分
B组 能力提升
15分钟)
1.(2018·
六安模拟)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°
,沿点A向北偏东30°
前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°
,则水柱的高度是( )
A.50mB.100m
C.120mD.150m
A [设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°
,AC=h,AB=100,BC=
h,根据余弦定理得,(
h)2=h2+1002-2·
h·
100·
cos60°
,即h2+50h-5000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50m.]
2.(2014·
全国卷Ⅰ)如图3718,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°
,C点的仰角∠CAB=45°
.已知山高BC=100m,则山高MN=________m.
图3718
150 [根据图示,AC=100
m.
在△MAC中,∠CMA=180°
⇒AM=100
在△AMN中,
=sin60°
∴MN=100
=150(m).]
大连模拟)如图3719,一条巡逻船由南向北行驶,在A处测得山顶P在北偏东15°
(∠BAC=15°
)方向上,匀速向北航行20分钟到达B处,测得山顶P位于北偏东60°
方向上,此时测得山顶P的仰角60°
,若山高为2
千米.
(1)船的航行速度是每小时多少千米?
(2)若该船继续航行10分钟到达D处,问此时山顶位于D处的南偏东什么方向?
图3719
[解]
(1)在△BCP中,tan∠PBC=
⇒BC=2.
在△ABC中,由正弦定理得:
⇒
所以AB=2(
+1),
船的航行速度是每小时6(
+1)千米.
(2)在△BCD中,由余弦定理得:
CD=
在△BCD中,由正弦定理得:
⇒sin∠CDB=
所以,山顶位于D处南偏东135°
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