平面解析几何初步_精品文档Word文档格式.doc

平面解析几何初步_精品文档Word文档格式.doc

《平面解析几何初步_精品文档Word文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面解析几何初步_精品文档Word文档格式.doc（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

为了拿到这5分，并且为后面的解答题做准备，我们需要牢牢掌握这部分基础知识。

知识梳理

1

一、直线与方程

1.直线的倾斜角和斜率：

倾斜角：

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别

地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°

≤α<

180

直线的斜率：

倾斜角不是90°

的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线

的斜率。

直线的斜率常用k表示。

斜率反映直线与轴的倾斜程度

斜率的公式：

给定两点，，则直线的斜率

=

平行与垂直：

两条直线，他们的斜率分别为

2.直线的方程

点斜式：

直线过点，且斜率为k,那么直线方程为:

斜截式：

直线斜率为k，且与y轴交点为（0，b）,那么直线方程为:

y=kx+b

两点式：

直线过点，其中，，那么直线

方程为

直线的一般方程：

，（A，B不同是为0）

3.两点间的距离

4.点到直线的距离

点到直线：

的距离为：

5.两条平行线间的距离

已知两条平行线，则的距离为

二、圆与方程

1.圆的定义

（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.

（2）确定一个圆的要素是圆心和半径.

2.圆的方程

（1）圆的标准方程：

，其中圆心为A（a,b）,半径为r；

（2）圆的一般方程：

注：

上述方程配方得：

3.求圆的方程的一般步骤为：

（1）根据题意选择标准方程或者一般方程；

（2）根据条件列出关于或者的方程组；

（3）解出或者代入标准方程或者一般方程.

4.点与圆的关系：

（1）若>

则点M在圆外；

（2）若，则点M在圆上；

（3）若<

，则点M在圆内.

5.直线：

与圆的位置关系：

（1）若圆心A到直线的距离，则直线与圆相离；

（2）若圆心A到直线的距离，则直线与圆相交；

（3）若圆心A到直线的距离，则直线与圆相切；

6.圆与圆的位置关系：

设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以

下几点：

（1）当时，圆与圆相离；

（2）当时，圆与圆外切；

（3）当时，圆与圆相交；

当圆与圆相交与A、B两点时，上述方程相减即得直线AB方程.

题型分类

1.求直线的方程：

例.如图所示，已知两条直线l1：

x－3y＋12＝0，l2：

3x＋y－4＝0，过定点P（－1，2作一条直线l，分别与直线l1、l2交于M、N两点，若点P恰好是MN的中点，求直线l的方程。

解析：

解法一设所求直线l的方程为，

由得交点M的横坐标为，

由得交点N的横坐标为，

∵点P恰好是MN的中点，

∴，解得。

∴所求直线l的方程为。

解法二以确定斜率k，如图所示，

设

∴，∴，

∴，

解法三求M、N中的一点，运用“两点确定一条直线”求l的方程。

如图所示，

设

即

解得，即M（－3，3）

∴直线MN的斜率为

点评：

解法一、解法二都是求斜率k，显然解法二中引入中点坐标的增量△x、△y，建立关于△x，△y，k的三个方程构成的方程组，消去△x、△y，很快就求出了k，△x、△y在此扮演了参数的角色，可以看成是解法三的演变。

不同的解题方法就是对同一个题目的不同角度的理解，通过对同一个题目的多种解法的研究，不仅有利于提高解题能力，也有利于提高对数学问题和数学概念、思想的理解深度。

从而提高数学素质。

2.求圆的方程

例.圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为，求此圆的方程。

因圆与y轴相切，且圆心在直线上，故设

圆方程为

又因为直线截圆得弦长为

则有

解得b＝±

1。

故所求圆方程为

或。

在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：

（1）确定圆方程首先明确标准方程还是一般方程。

（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a,b,r或D,E,F。

（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的数。

3.直线与圆

例.已知圆C：

，直线l：

＝0（）。

（1）证明：

无论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；

（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程。

（1）直线l的方程化为：

。

因此，直线l过两条直线和的交点，联立这两条直线的方程中解得交点为A（3，1），即直线l恒过定点A（3，1）。

又因，

故点A（3，1）在圆C的内部，直线l与圆C恒交于两点；

（2）圆心为C（1，2），当直线l被圆C截得的弦长最小时，有l⊥AC，由可得，因此直线l的方程为

。

本题

（1）的常规解法是联立直线与圆的方程，证明方程组一定有解，或证明圆心到直线的距离小于圆的半径；

（2）的常规解法是联立方程运用弦长公式讨论何时取得最小值。

这些做法的过程都非常复杂。

因此，在解直线与圆的位置关系的问题时一定要充分利用圆的几何性质，以便尽快找到简洁的解法，使问题的解决事半功倍。

专项训练

例1.自点A（－3,3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程。

圆的方程可化为，

由光学原理可知，圆关于x轴的对称圆必与l相切，

对称圆方程为

设l的斜率为k（k必然存在）。

则l的方程，

由于l与圆相切，故

解得

故所求直线l的方程为或。

求入射光线的方程可从反射光线的对称入手；

反之，将入射光线上的点通过反射面对称后有助于求反射光线的方程。

单纯从求反射线（入射线）角度看也可利用入射角等于反射角的方法，确定反射线（入射线）的斜率。

由此可以看出确定直线的方程，要充分挖掘所求直线已具备的几何（物理）特性，从而转化到斜率或点上去。

例2.已知两条直线l1：

ax－by＋4＝0和l2：

（a－1）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a,b的值。

（1）l1⊥l2，且l1过点（－3，－1）；

（2）l1∥l2且坐标原点到这两条直线的距离相等。

（1）由已知可得的斜率必存在，

∴

若，则

∵，∴直线的斜率必不存在，即b＝0

又∵过（－3，－1）

∴（不合题意）。

∴此种情况不存在，即

若，即都存在，

∵，

∴①

又∵过点（－3，－1），

∴②

由①②联立，解得a＝2，b＝2。

（2）∵的斜率也存在，

∴直线的斜率也存在，

∴③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等且，

∴在y轴上的截距互为相反数。

即④

由③④联立解得

∴a、b的值为2和－2或和2。

当所求直线的方程中存在字母系数，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于

（1），若用l1⊥l2A1A2＋B1B2=0可不用分类讨论。

例3.已知圆C：

（x－1）2＋（y－2）2＝2，P点坐标为（2，－1），过点P作圆C的切线，切点为A、B。

（1）求直线PA、PB的方程；

（2）求过P点的圆的切线长；

（3）求直线AB的方程。

（1）如图所示，设过P点的圆的切线方程为，

∵圆心（1，2）到直线的距离为。

∴所求的切线方程为或，

即或；

（2）在Rt△PCA中，

∴过P点的圆C的切线长为；

（3）由得

由得B（0，1）

∴直线AB的方程是。

①过圆外一点作圆的切线必有两条，在求圆的切线方程时，有时会遇到切线斜率不存在的情况，如过圆x2＋y2=4外一点（2,3）作圆的切线，切线方程为5x－12y＋26=0，此时要注意斜率不存在的切线不要漏掉。

②本例（3）中直线AB的方程是通过求切点A、B的坐标写出来的。

事实上，过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的切线，经过两切点的直线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）=r2。

其证明思路有三：

思路一：

设切点A（x1,y1）,B（x2,y2），P点坐标满足切线PA、PB的方程，从而得出过A、B两点的直线方程。

思路二：

直线AB是以PC（C是已知圆的圆心）为直径的圆与已知圆的公共弦所在的直线。

思路三：

直线AB是以P为圆心，以PA为半径的圆与已知圆的公共弦所在的直线。

它的形式与P点在圆上时，过P点的切线方程形式完全相同，它可以作为一个公式，在解有关的选择题、填空题时直接使用。