数值分析期末复习总结PPT课件下载推荐.ppt
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,例:
写出下列各数的具有5位有效数字的近似值187.9325,0.03785551,2.7182828,8.000033,187.93,0.037856,2.7183,8.0000,注:
0.2300有4位有效数字,而0.23只有2位有效数字12300如果写成0.123105,则表示只有3位有效数字。
数字末尾的0不可以随意添加或省略!
7,有效数字,定理:
设近似值x*可表示为x*=a1.a2al10m(a10),若x*具有n位有效数字,则其相对误差限满足,1,r*,2a1,10-(n-1),有效位数越多,相对误差限越小,8,第二章插值法,计算方法,9,插值基本概念,已知函数y=f(x)在a,b上有定义,且已经测得在点ax0x1xnb处的函数值为y0=f(x0),yn=f(xn),什么是插值,如果存在一个简单易算的函数P(x),使得P(xi)=f(xi),i=1,2,.,n则称P(x)为f(x)的插值函数,求插值函数P(x)的方法就称为插值法,10,基函数插值法,基函数法,通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法,Zn(x)=次数不超过n的多项式的全体,记,11,Lagrange插值,Lagrange插值基函数,设lk(x)是n次多项式,在插值节点x0,x1,xn上满足,则称lk(x)为节点x0,x1,xn上的拉格朗日插值基函数,单项式基函数,利用线性无关的单项式族:
构造n次多项式:
12,线性与抛物线插值,两种特殊情形,n=1,线性插值多项式(一次插值多项式),13,插值举例,例:
已知函数y=lnx的函数值如下,解:
试分别用线性插值和抛物线插值计算ln0.54的近似值,为了减小截断误差,通常选取插值点x邻接的插值节点,14,插值举例,抛物线插值:
取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得,ln0.54L2(0.54)=-0.6153,在实际计算中,不需要给出插值多项式的表达式,ex21.m,Lagrange插值多项式简单方便,只要取定节点就可写出基函数,进而得到插值多项式,易于计算机实现。
15,Lagrange插值,lk(x)的表达式,由构造法可得,16,误差估计,如何估计误差,17,插值余项,余项公式只有当f(x)的高阶导数存在时才能使用,几点说明,计算插值点x上的近似值时,应选取与x相近插值节点,18,插值误差举例,例:
已知函数y=lnx的函数值如下,试估计线性插值和抛物线插值计算ln0.54的误差,19,Newton插值,为什么Newton插值,Lagrange插值简单易用,但若要增加一个节点时,全部基函数lk(x)都需重新计算,不太方便。
设计一个可以逐次生成插值多项式的算法,即n次插值多项式可以通过n-1次插值多项式生成Newton插值法,解决办法,20,新的基函数,设插值节点为x0,xn,考虑插值基函数组,当增加一个节点xn+1时,只需加上基函数,21,Newton插值,此时f(x)的n次插值多项式为,问题,如何从pn-1(x)得到pn(x)?
怎样确定参数a0,an?
需要用到差商(均差),22,差商,什么是差商,设函数f(x),节点x0,xn,f(x)关于点xi,xj的,一阶差商,f(x)关于点xi,xj,xk的,二阶差商,k阶差商,差商的一般定义,23,差商的性质,k阶差商与k阶导数之间的关系:
若f(x)在a,b上具有k阶导数,则至少存在一点(a,b),使得,24,差商的计算,如何巧妙地计算差商,差商表,25,差商举例,例:
已知y=(x)的函数值表,试计算其各阶差商,解:
差商表如下,ex24.m,ex23.m,26,Newton插值公式,Newton插值公式,由差商的定义可得,Nn(x),Rn(x),27,Newton插值公式,f(x)=Nn(x)+Rn(x),Nn(x)是n次多项式,Nn(xi)=f(xi),i=0,1,2,n,重要性质,Nn(x)是f(x)的n次插值多项式,其中,28,Newton/Lagrange,Newton插值多项式与Lagrange插值多项式,f(x)在x0,x1,xn上的n次插值多项式是唯一的!
Nn(x)Ln(x),余项也相同,将x看作节点,29,插值举例,例:
取节点0.5,0.6,0.4作差商表,试分别用牛顿线性插值和抛物线插值计算ln0.54的近似值,N1(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5),N1(0.54)=-0.6202,N2(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)-2.0450(x-0.5)(x-0.6),N2(0.54)=-0.6153,ex25.m,插值节点无需递增排列,但必须确保互不相同!
30,第三章函数逼近与FFT,计算方法,31,函数逼近,三个问题,问题一,已知一个函数的数值表,能否找到一个简单易算的p(x),使得p(xi)=yi。
问题二,函数f(x)的表达式非常复杂,能否找到一个简单易算的p(x),使得p(x)是f(x)的一个合理的逼近。
问题三,问题一的表中的数值带有误差,能否找到一个简单易算的p(x),可以近似地表示这些数据。
32,赋范线性空间,赋范线性空间Ca,b,线性空间Ca,b,f(x)Ca,b,1-范数:
2-范数:
-范数:
33,逼近标准,度量p(x)与f(x)的近似程度的常用两种标准,使尽可能地小。
使尽可能地小。
34,函数逼近,记Hn为所有次数不超过n的多项式组成的集合,给定函数f(x)Ca,b,若P*(x)Hn使得,则称P*(x)为f(x)在Ca,b上的最佳逼近多项式,最佳逼近,最佳一致逼近,35,函数逼近,最小二乘拟合,寻找P*(x),使得下面的离散2-范数最小,给定f(x)Ca,b的数据表,最佳平方逼近,36,正交多项式,定义,设n(x)是首项系数不为0的n次多项式,若,则称为a,b上带权(x)正交,性质1,设是正交多项式族,Hn为所有次数不超过n的多项式组成的线性空间,则,构成Hn的一组基,称n(x)为n次正交多项式,37,Legendre多项式,Pn(x)的首项xn的系数为:
Legendre多项式,在-1,1上带权(x)=1的正交多项式称为勒让德多项式,x-1,1,n=1,2,记号:
P0,P1,P2,.,则是首项系数为1的勒让德多项式,令,38,Legendre多项式,ex31.m,其中P0(x)=1,P1(x)=x,,39,Chebyshev多项式,Chebyshev多项式,在-1,1上带权(x)的正交多项式称为切比雪夫多项式,x-1,1,n=0,1,2,切比雪夫多项式的表达式,令x=cos,则Tn(x)=cos(n),展开后即得,40,Chebyshev多项式,ex32.m,41,Chebyshev零点插值多项式,Chebyshev插值,以Chebyshev多项式的零点作为插值节点进行插值,好处:
误差最小,定理,设f(x)Cn+1-1,1,插值节点x0,x1,xn为Tn+1(x)的n+1个零点,则,且,42,最佳平方逼近,设f(x)Ca,b,0(x),1(x),n(x)Ca,b线性无关,令,求S*(x),使得,S*(x)称为f(x)在中的最佳平方逼近函数,其中,43,最佳平方逼近,如何求S*(x)?
44,最佳平方逼近,即,法方程,G,45,求在0,1上的一次最佳平方逼近多项式,举例,例:
(教材68页,例6),解:
46,最佳平方逼近多项式,f(x)Ca,b在Hn中的最佳平方逼近,记为,n次最佳平方逼近多项式,取Hn的一组基:
1,x,x2,xn,则法方程为,H,Hilbert矩阵,H严重病态只适合求低次最佳逼近,47,正交函数作逼近,若0,1,n正交,则法方程的解为,所以,k=0,1,n,误差,Bessel不等式,48,曲线拟合,能否找到一个简单易算的p(x),使得f(x)p(x),已知f(x)在某些点的函数值:
49,使最小,使最小,曲线拟合,(xi)yi总体上尽可能小,使最小,常见做法,50,最小二乘,曲线拟合的最小二乘问题,这个问题实质上是最佳平方逼近问题的离散形式。
可以将求连续函数的最佳平方逼近函数的方法直接用于求解该问题。
已知函数值表(xi,yi),在函数空间中求S*(x),使得,其中i是点xi处的权。
51,最小二乘求解,对任意S(x)=span0,1,n,可设,S(x)=a00+a11+ann(x),则求S*(x)等价于求下面的多元函数的最小值点,52,最小二乘求解,(k=0,1,n),这里的内积是离散带权内积,即,,,法方程,G,53,最小二乘求解,54,举例,最小二乘问题中,如何选择数学模型很重要,即如何选取函数空间=span0,1,n,通常需要根据物理意义,或所给数据的分布情况来选取合适的数学模型。
55,多项式拟合,Hn=span1,x,.,xn,即i=xi,则相应的法方程为,此时为f(x)的n次最小二乘拟合多项式,多项式最小二乘曲线拟合,56,举例,例:
求下面数据表的二次最小二乘拟合多项式,得法方程,解得,所以此组数据的二次最小二乘拟合多项式为,
(1)若题目中没有给出各点的权值i,默认为i=1
(2)该方法不适合n较大时的情形(病态问题),57,第四章数值积分与数值微分,计算方法,58,数值积分,微积分基本公式:
59,几个简单公式,矩形公式,梯形公式,抛物线公式,基本思想:
60,一般形式,数值积分公式的一般形式,将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算无需求原函数易于计算机实现,一般地,用f(x)在a,b上的一些离散点ax0x1xnb上的函数值的加权平均作为f()的近似值,可得,61,代数精度,定义:
如果对于所有次数不超过m的多项式f(x),公式,精确成立,但对某个次数为m+1的多项式不精确成立,则称该求积公式具有m次代数精度,62,举例,例:
试确定系数Ai,使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度,并求出此求积公式的代数精度。
易验证该公式对f(x)x3也精确成立,但对f(x)x4不精确成立,所以此求积公式具有3次代数精度。
63,插值型求积公式,设求积节点为:
ax0x1xnb若f(xi)已知,则可做n次多项式插值:
其中,插值型求积公式,64,Newton-Cotes公式,基于等分点的插值型求积公式,积分区间:
a,b求积节点:
xi=a+ih,求积公式:
Cotes系数,Newton-Cotes求积公式,65,Newton-Cotes公式,n=1:
代数精度=1,梯形公式,n=2:
代数精度=3,抛物线公式Simpson公式,n=4:
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