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实验1利用DFT分析信号频谱
一、实验目的
1.加深对DFT原理的理解。
2.应用DFT分析信号频谱。
3.深刻理解利用DFT分析信号频谱的原理,分析现实过程现象及解决办法。
二、实验原理
1、DFT和DTFT的关系
有限长序列的离散时间傅里叶变换在频率区间的N个等分点上的N个取样值可以由下式表示:
由上式可知,序列的N点DFT,实际上就是序列的DTFT在N个等间隔频率点上样本。
2、利用DFT求DTFT
方法1:
由恢复出的方法如图2.1所示:
图2.1.由N点DFT恢复频谱DTFT的流程
由图2.1所示流程图可知:
由式2-2可以得到
其中为内插函数
方法2:
然而在实际MATLAB计算中,上诉插值公式不见得是最好的方法。
由于DFT是DTFT的取样值,其相邻的两个频率样本点的间距为,所以如果我们增加数据的长度N,使得得到的DFT谱线就更加精细,其包络就越接近DTFT的结果,这样可以利用DFT来近似计算DTFT。
如果没有更多的数据,可以通过补零来增加数据长度。
3、利用DFT分析连续时间信号的频谱
采用计算机分析连续时间信号的频谱,第一步就是把连续时间信号离散化,这里需要进行连个操作:
一是采样,二是截断。
对于连续非周期信号,按采样间隔T进行采样,截取长度为M,那么
对进行N点的频率采样,得到
因此,可以将利用DFT分析连续非周期信号频谱的步骤归纳如下:
(1)确定时域采样间隔T,得到离散序列;
(2)确定截取长度M,得到M点离散序列,这里的为窗函数。
(3)确定频域采样点数N,要求。
(4)利用FFT计算离散序列的N点DFT,得到。
(5)根据式(2-6)由计算采样点的近似值。
采用上诉方法计算的频谱,需要注意如下三点问题:
(1)频谱混叠。
如果不满足采样定理的条件,频谱会很出现混叠误差。
对于频谱无限宽的信号,应考虑覆盖大部分主要频率的范围。
(2)栅栏效应和频谱分辨率。
使用DFT计算频谱,得到的结果只是N个频谱样本值,样本值之间的频谱是未知的,就像通过一个栅栏观察频谱,称为“栅栏效应”。
频谱分辨率与记录长度成正比,提高频谱分辨率,就要增加记录时间。
(3)频谱泄露。
对于信号截断会把窗函数的频谱会引入到信号频谱中,造成频谱泄露。
解决这问题的主要办法是采用旁瓣小的窗函数,频谱泄露和窗函数均会引起误差。
因此,要合理选取采样间隔和截取长度,必要时还需考虑适当的窗。
对于连续周期信号,我们在采用计算机进行计算时,也总是要进行截断,序列总是有限长的,仍然可以采用上诉方法近似计算。
4、可能用到MATLAB函数与代码
实验中的DFT运算可以采用MATLAB中提供的FFT来实现。
DTFT可以利用MATLAB矩阵运算的方法进行计算。
三、实验题目
1.,完成如下要求:
(1)计算其DTFT,并画出区间的波形。
(2)计算4点DFT,并把结果显示在
(1)所画的图形中。
(3)对补零,计算64点DFT,并显示结果。
(4)是否可以由DFT计算DTFT,如果可以,请编程实现。
2.考察序列
(1)时,用DFT估计的频谱;
将补零加长到长度为100点序列用DFT
估计的频谱。
要求画出相应波形。
(2)时,用DFT估计x(n)的频谱,并画出波形。
3.已知信号,其中,,。
从的表达式可以看出,它包含三个频率的正弦波,但是,从其时域波形来看,似乎是一个正弦信号,利用DFT做频谱分析,确定适合的参数,使得到的频谱的频率分辨率符合需要。
4.利用DFT近似分析连续时间信号xt=e-0.1tu(t)的频谱(幅度谱)。
分析采用不同的采样间隔和截取长度进行计算的结果,并最终确定合适的参数。
四、实验代码、实验结果及分析
1.
(1)
>
n=0:
3;
x=[2-111];
w=-pi:
0.01*pi:
pi;
X=x*exp(-j*n'
*w);
subplot(211);
plot(w,abs(X));
xlabel('
\Omega/\pi'
);
title('
Magnitude'
axistight;
subplot(212);
plot(w,angle(X));
Phase'
(2)
Xk=fft(x);
holdon;
stem(2*pi/4*n,abs(Xk),'
filled'
stem(2*pi/4*n,angle(Xk),'
(3)
x=[2-111zeros(1,60)];
63;
stem(n,abs(Xk),'
stem(n,angle(Xk),'
(4)可以由DFT计算DTFT,只需采样点足够即可逼近DTFT,可采用增加补零个数的方法实现。
2.
10;
x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);
\Omega'
n1=0:
99;
x1=[xzeros(1,89)];
Xk1=fft(x1);
stem(n,abs(Xk1),'
Xk1=fft(x);
stem(n1,angle(Xk1),'
(3)可通过增大采样点数,时域补零提高频谱分辨率。
3.
20;
x=0.15*sin(2*pi*n)+sin(2*pi*2*n)-0.1*sin(2*pi*3*n);
4.
【修改采样间隔】
x=exp(-0.1*n).*heaviside(n);
50;
100;
【修改截取长度】
x=exp(-0.1*n).*(heaviside(n)-heaviside(n-50));
x=exp(-0.1*n).*(heaviside(n)-heaviside(n-10));
五、实验总结
第一次数字信号处理实验,我了解了如何在MATLAB中使用DFT分析信号的频谱,对DFT采样、截取的概念和操作结果有了更直观的认识。
此外,使用MATLAB的FFT大大简化了DFT的计算,让我认识到了FFT算法的快捷。
实验2利用FFT计算线性卷积
1.掌握利用FFT计算线性卷积的原理及具体实现方法。
2.加深理解重叠相加法和重叠保留法。
3.考察利用FFT计算线性卷积各种方法的适用范围。
1.线性卷积与圆周卷积
设x(n)为L点序列,h(n)为M点序列,x(n)和h(n)的线性卷积为
(3-1)
的长度为L+M-1
x(n)和h(n)的圆周卷积为
(3-2)
圆周卷积与线性卷积相等而不产生交叠的必要条件为
N≥L+M+1(3-3)
圆周卷积定理:
根据DFT性质,x(n)和h(n)的N点圆周卷积的DFT等于它们的DFT的乘积:
(3-4)
2.快速卷积
快速卷积发运用圆周卷积实现线性卷积,根据圆周卷积定理利用FFT算法实现圆周卷积。
可将快速卷积运算的步骤归纳如下:
(1)必须选择;
为了能使用基-2算法,要求。
采用补零的办法使得x(n)和h(n)的长度均为N。
(2)计算x(n)和h(n)的N点FFT。
(3)组成乘积
(4)利用IFFT计算Y(k)的IDFT,得到线性卷积y(n)
3.分段卷积
我们考察单位取样响应为h(n)的线性系统,输入为x(n),输出为y(n),则
yn=xn*h(n)
当输入序列x(n)极长时,如果要等x(n)全部集齐时再开始进行卷积,会使输出有较大延时;
如果序列太长,需要大量存储单元。
为此,我们把x(n)分段,为别求出每段的卷积,合在一起得到最后的总输出。
这称为分段卷积。
分段卷积可以细分为重叠保留法和重叠相加法。
重叠保留法:
设x(n)的
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