切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理_精品文档Word格式文档下载.doc
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已知
结论
证法
相交弦定理
⊙O中,AB、CD为弦,交于P.
PA·
PB=PC·
PD.
连结AC、BD,证:
△APC∽△DPB.
相交弦定理的推论
⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P.
PC2=PA·
PB.
(特殊情况)
用相交弦定理.
切割线定理
⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于A
PT2=PA·
PB
连结TA、TB,证:
△PTB∽△PAT
切割线定理推论
PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、C
PD
过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理
(记忆的方法方法)
圆幂定理
⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦
P'
C·
D=r2-OP'
2
PB=OP2-r2
r为⊙O的半径
延长P'
O交⊙O于M,延长OP'
交⊙O于N,用相交弦定理证;
过P作切线用切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理:
过一定点P向⊙O作任一直线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||(R为圆半径),因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】
例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。
在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:
AE的值。
图1
解:
由切线长定理知:
AF=AB=1,EF=CE
设CE为x,在Rt△ADE中,由勾股定理
∴,,
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么CE=_________cm。
图2
由相交弦定理,得
AE·
BE=CE·
DE
∵AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,
,
∴,
即
∴CE=3cm或CE=4cm。
故应填3或4。
点拨:
相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知PA是圆的切线,PCB是圆的割线,则________。
∵∠P=∠P
∠PAC=∠B,
∴△PAC∽△PBA,
∴。
又∵PA是圆的切线,PCB是圆的割线,由切割线定理,得
即,
故应填PC。
利用相似得出比例关系式后要注意变形,推出所需结论。
例4.如图3,P是⊙O外一点,PC切⊙O于点C,PAB是⊙O的割线,交⊙O于A、B两点,如果PA:
PB=1:
4,PC=12cm,⊙O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是___________cm。
图3
∵PC是⊙O的切线,PAB是⊙O的割线,且PA:
4
∴PB=4PA
又∵PC=12cm
由切割线定理,得
∴
∴PB=4×
6=24(cm)
∴AB=24-6=18(cm)
设圆心O到AB距离为dcm,
由勾股定理,得
故应填。
例5.如图4,AB为⊙O的直径,过B点作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D,
(1)求证:
;
(2)若AB=BC=2厘米,求CE、CD的长。
图4
点悟:
要证,即要证△CED∽△CBE。
证明:
(1)连结BE
(2)
。
又∵,
∴厘米。
有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为利用弦切角定理创造条件。
例6.如图5,AB为⊙O的直径,弦CD∥AB,AE切⊙O于A,交CD的延长线于E。
图5
求证:
连结BD,
∵AE切⊙O于A,
∴∠EAD=∠ABD
∵AE⊥AB,又AB∥CD,
∴AE⊥CD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∴∠E=∠ADB=90°
∴△ADE∽△BAD
∵CD∥AB
∴AD=BC,∴
例7.如图6,PA、PC切⊙O于A、C,PDB为割线。
求证:
AD·
BC=CD·
AB
图6
由结论AD·
AB得,显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC
∵PA切⊙O于A,
∴∠PAD=∠PBA
又∠APD=∠BPA,
∴△PAD∽△PBA
同理可证△PCD∽△PBC
∵PA、PC分别切⊙O于A、C
∴PA=PC
∴AD·
BC=DC·
例8.如图7,在直角三角形ABC中,∠A=90°
,以AB边为直径作⊙O,交斜边BC于点D,过D点作⊙O的切线交AC于E。
图7
BC=2OE。
由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。
而OA=OB,只须证AE=CE。
连结OD。
∵AC⊥AB,AB为直径
∴AC为⊙O的切线,又DE切⊙O于D
∴EA=ED,OD⊥DE
∵OB=OD,∴∠B=∠ODB
在Rt△ABC中,∠C=90°
-∠B
∵∠ODE=90°
∴∠C=∠EDC
∴ED=EC
∴AE=EC
∴OE是△ABC的中位线
∴BC=2OE
例9.如图8,在正方形ABCD中,AB=1,是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧。
点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点。
当∠DEF=45°
时,求证点G为线段EF的中点;
图8
由∠DEF=45°
,得
∴∠DFE=∠DEF
∴DE=DF
又∵AD=DC
∴AE=FC
因为AB是圆B的半径,AD⊥AB,所以AD切圆B于点A;
同理,CD切圆B于点C。
又因为EF切圆B于点G,所以AE=EG,FC=FG。
因此EG=FG,即点G为线段EF的中点。
【模拟试题】
(答题时间:
40分钟)
一、选择题
1.已知:
PA、PB切⊙O于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,则PA=()
A.B.C.5D.8
2.下列图形一定有内切圆的是()
A.平行四边形B.矩形
C.菱形D.梯形
3.已知:
如图1直线MN与⊙O相切于C,AB为直径,∠CAB=40°
,则∠MCA的度数()
A.50°
B.40°
C.60°
D.55°
4.圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为1:
4,则另一弦长为()
A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm
5.在△ABC中,D是BC边上的点,AD,BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点,那么DE长等于()
A.B.
C.D.
6.PT切⊙O于T,CT为直径,D为OC上一点,直线PD交⊙O于B和A,B在线段PD上,若CD=2,AD=3,BD=4,则PB等于()
A.20B.10C.5D.
二、填空题
7.AB、CD是⊙O切线,AB∥CD,EF是⊙O的切线,它和AB、CD分别交于E、F,则∠EOF=_____________度。
8.已知:
⊙O和不在⊙O上的一点P,过P的直线交⊙O于A、B两点,若PA·
PB=24,OP=5,则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线,A为切点,PBC割线交⊙O于B、C,若BC=20,,则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O,M、N分别为AB、AC中点,延长MN交⊙O于点D,连结BD交AC于P,则_____________。
三、解答题
11.如图2,△ABC中,AC=2cm,周长为8cm,F、K、N是△ABC与内切圆的切点,DE切⊙O于点M,且DE∥AC,求DE的长。
12.如图3,已知P为⊙O的直径AB延长线上一点,PC切⊙O于C,CD⊥AB于D,求证:
CB平分∠DCP。
13.如图4,已知AD为⊙O的直径,AB是⊙O的切线,过B的割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN=NC,若AB,求⊙O的半径。
【试题答案】
1.A2.C3.A4.B5.B6.A
7.908.19.3010.
三、解答题:
11.由切线长定理得△BDE周长为4,由△BDE∽△BAC,得DE=1cm
12.证明:
连结AC,则AC⊥CB
∵CD⊥AB,∴△ACB∽△CDB,∴∠A=∠1
∵PC为⊙O的切线,∴∠A=∠2,又∠1=∠2,
∴BC平分∠DCP
13.设BM=MN=NC=xcm
又∵
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