浙江专用版学年高中数学第一章三角函数13三角函数的诱导公式一学案新人教A版必修2Word文档格式.docx
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答案 角π-α的终边与角α的终边关于y轴对称,P3与P也关于y轴对称,它们的三角函数关系如下:
诱导公式四
sin(π-α)=sinα,
cos(π-α)=-cosα,
tan(π-α)=-tanα.
梳理 公式一~四都叫做诱导公式,它们分别反映了2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数值与α的三角函数之间的关系,这四组公式的共同特点是:
2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变,符号看象限”.
1.诱导公式中角α是任意角.( ×
)
提示 正弦、余弦函数的诱导公式中,α为任意角,但是正切函数的诱导公式中,α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
2.sin(α-π)=sinα.( ×
提示 sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sinα.
3.cos
π=-
.( √ )
提示 cos
=cos
=-cos
=-
.
4.诱导公式对弧度制适用,对角度制不适用.( ×
提示 在角度制和弧度制下,公式都成立.
类型一 利用诱导公式求值
命题角度1 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值:
(1)cos210°
;
(2)sin
(3)sin
(4)cos(-1920°
).
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解
(1)cos210°
=cos(180°
+30°
)
=-cos30°
=sin
=
=-sin
)=cos1920°
=cos(5×
360°
+120°
=cos120°
-60°
)=-cos60°
反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”:
用公式一或三来转化.
(2)“大化小”:
用公式一将角化为0°
到360°
间的角.
(3)“角化锐”:
用公式二或四将大于90°
的角转化为锐角.
(4)“锐求值”:
得到锐角的三角函数后求值.
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值:
(1)sin1320°
(2)cos
(3)tan(-945°
解
(1)方法一 sin1320°
=sin(3×
+240°
=sin240°
=sin(180°
+60°
)=-sin60°
方法二 sin1320°
=sin(4×
-120°
)=sin(-120°
=-sin(180°
(2)方法一 cos
方法二 cos
)=-tan945°
=-tan(225°
+2×
=-tan225°
=-tan(180°
+45°
)=-tan45°
=-1.
命题角度2 给值求值或给值求角问题
例2
(1)已知sin(π+θ)=-
cos(2π-θ),|θ|<
,则θ等于( )
A.-
B.-
C.
D.
答案 D
解析 由sin(π+θ)=-
,
可得-sinθ=-
cosθ,|θ|<
即tanθ=
,|θ|<
,∴θ=
(2)已知cos
,求cos
-sin2
的值.
解 因为cos
sin2
=sin2
=1-cos2
=1-
2=
所以cos
-
反思与感悟
(1)解决条件求值问题的策略
①解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
②可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
(2)对于给值求角问题,先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值,再结合特殊角的三角函数值逆向求角.
跟踪训练2 (2017·
大同检测)已知sinβ=
,cos(α+β)=-1,则sin(α+2β)的值为( )
A.1B.-1C.
D.-
考点 诱导公式二、三、四
题点 诱导公式二
解析 由cos(α+β)=-1,得α+β=2kπ+π(k∈Z),
则α+2β=(α+β)+β=2kπ+π+β(k∈Z),
sin(α+2β)=sin(2kπ+π+β)=sin(π+β)
=-sinβ=-
类型二 利用诱导公式化简
例3 化简下列各式:
(1)
(2)
解
(1)原式=
=-tanα.
(2)原式=
引申探究
若本例
(1)改为:
(n∈Z),请化简.
解 当n=2k时,
原式=
=-tanα;
当n=2k+1时,
反思与感悟 三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
(2)常用“切化弦”法,即表达式中的切函数通常化为弦函数.
(3)注意“1”的变式应用:
如1=sin2α+cos2α=tan
跟踪训练3 化简下列各式:
=1.
1.已知tanα=4,则tan(π-α)等于( )
A.π-4B.4C.-4D.4-π
考点 公式二、三、四
题点 公式四
答案 C
解析 tan(π-α)=-tanα=-4.
2.sin585°
的值为( )
B.
C.-
题点 公式二
答案 A
解析 sin585°
=sin(360°
+225°
)=sin(180°
=-sin45°
3.(2018·
牌头中学月考)利用诱导公式化简:
sin(π-x)=________,sin(π+x)=________.
答案 sinx -sinx
4.已知600°
角的终边上有一点P(a,-3),则a的值为______.
答案 -
解析 tan600°
=tan(360°
)=tan(180°
=tan60°
,即a=-
5.化简:
·
sin(α-2π)·
cos(2π-α).
解 原式=
[-sin(2π-α)]·
cos(2π-α)
sinα·
cosα=cos2α.
1.明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0~2π之间的角求值
公式二
将0~2π内的角转化为0~π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0~
之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号,α看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上α可以是任意角.
3.已知角求值问题,一般要利用诱导公式三和公式一,将负角化为正角,将大角化为0~2π之间的角,然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记,做到“见角知值,见值知角”.
一、选择题
1.(2017·
绍兴期末)cos(π+x)等于( )
A.cosxB.-cosx
C.sinxD.-sinx
答案 B
解析 由诱导公式得cos(π+x)=-cosx.
2.(2017·
绵阳检测)已知sin
,则sin
A.
解析 sin
3.已知sin(π+α)=
,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是( )
解析 因为sin(π+α)=
,且sin(π+α)=-sinα,
所以sinα=-
又因为α是第四象限角,
所以cos(α-2π)=cosα=
4.(2017·
天津一中期末)化简sin2(π+α)-cos(π+α)·
cos(-α)+1的值为( )
A.1B.2sin2αC.0D.2
解析 原式=(-sinα)2-(-cosα)·
cosα+1=sin2α+cos2α+1=2.
5.记cos(-80°
)=k,那么tan100°
等于( )
B.-
C.
D.-
题点 公式三
解析 ∵cos(-80°
)=k,∴cos80°
=k,
∴sin80°
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