历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答Word文档格式.docx
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D.8
||B|A||2A|
(2)3|A|8.
a11
a12
a13
3a12
1
4.
A
a21
a22
a23
B
3a22
a23,
P
3
0,Q
0,则B(B)
a31
a32
a33
3a32
A.
PA
B.AP
C.
QA
AQ
APa21
B.
5.已知A是一个34矩阵,下列命题中正确的是(C)
A.若矩阵A中所有3阶子式都为0,则秩(A)=2
B.若A中存在2阶子式不为0,则秩(A>
=2
C.若秩(A)=2,则A中所有3阶子式都为0
D.若秩(A)=2,则A中所有2阶子式都不为0
6.下列命题中错误的是(C)
A.只含有1个零向量的向量组线性相关
B.由3个2维向量组成的向量组线性相关
7.已知向量组
1,2,
3线性无关,
线性相关,
A.1必能由
线性表出
2必能由
1,3,
C.3必能由
必能由
3线性表出
注:
的一个极大无关组.
A.小于m
B.等于m
C.小于n
D.等于n
8.设A为mn矩阵,mn,则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩(D)
注:
方程组Ax=0有n个未知量.
9.设A为可逆矩阵,则与A必有相同特征值的矩阵为(A)
A.AT
B.A23
C.A1
D.A
A.0
B.1
D.3
|EAt||(EA)t||EA|,所以A与A有相同的特征值.
10.二次型f(Xi,X2,X3)
x;
X;
x!
2X1X2的正惯性指数为(C)
2222
f(X1,X2,X3)(X1X2)X3%,正惯性指数为2.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
11.行列式
20072008
20092010
的值为
20002000
78
910
11320
13.设(3,1,0,2)T,
(3,1,1,4)T,若向量满足2
3,则
12.设矩阵A201,B01,则ATb
32(9,3,3,12)t(6,2,0,4)T(3,5,3,8)T.
14•设A为n阶可逆矩阵,且|A|1,则IIA1I
n
15.设A为n阶矩阵,B为n阶非零矩阵,若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,
则IA|
n个方程、n个未知量的Ax=0有非零解,则|A|0.
x1x2x30
16•齐次线性方程组123的基础解系所含解向量的个数为
2x1x23x30
A111111,基础解系所含解向量的个数为nr321.
213031
11
17•设n阶可逆矩阵A的一个特征值是3,则矩阵丄A2必有一个特征值为
12121211
A有特征值3,则-A2有特征值-(3)23,-A有特征值—.
3333
122
18.设矩阵A2x0的特征值为4,1,2,则数X
200
由1x0412,得X2.
a1/720
19.已知A1/J2b0是正交矩阵,则ab
01
由第1、2列正交,即它们的内积¥
(ab)0,得ab0.
V2
20.二次型f(x1,X2,x3)4X4X22x1x36X2X3的矩阵是
三、计算题(本大题共
6小题,
9分,
共54分)
21.计算行列式
a
b
c
c2
的值.
abc
111
解:
D
c2以^2
c2u2^2
aabbcc
Ju3c3
a2b2c2
c3
a3
abc(b
a)(c
a)
22.已知矩阵B
(2,1,3),
(1,2,3),
(1)A
BTC;
(2)
A2•
(1)ABTC1
(1,2,3)
(2)注意到CBt
13,
所以
A2(BtC)(BtC)
Bt(CBt)C13BtC13A
131
23.设向量组1
(2,1,3,1)T,
2
(1,2,0,1)T
3(
1,1,3,0)
T,4(1,1,1,1)T,求向量组的秩
及一个极大线性无关组,
并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.
11
110
A(1,2,
3,
4)
12
011
30
033
21
011
110
10
01
,向量组的秩为
3,1,2,4是
000
00
一个极大无关组,
2.
14
24.已知矩阵A
B
5
.
(1)求A1;
(2)解矩阵方程
AXB.
201
(1)(A,E)
100
010
2,
A1
2;
»
001
4
9
(2)XA
1B
.
25.问a为何值时,
x1
2x2
3x3
线性方程组
ax3
2有惟一解?
有无穷多解?
并在有解时求出
2x1
6
其解(在有无穷多解时,
要求用
一个特解和导出组的基础解系表示全部解).
234
(A,b)
2a2.
0a30
(A,b)
a3时,r(A,b)r(A)3,有惟一解,此时
Xi
X2
X3
a3时,r(A,b)r(A)2n,有无穷多解,此时
3/2
X1
1,X2
3,通解为
3/2,其中k为任
意常数.
26.设矩阵A
1,2,5,求正的常数a的值及可逆矩阵P,使
a的三个特征值分别为
P1AP02
00
由|A|
2(9
a2)
125,得a24,a2.
对于11,解(EA)x
X3,取P1
对于22,解(E
A)x
对于
(P1,P2,P3)
四、证明题
(本题6分)
27.设A,
证:
A,B,
0,
则P是可逆矩阵,
B,AB均为n阶正交矩阵,证明(A
B)1
P2
,取
P3
1AP
AB均为n阶正交阵,则ATa1
bt
(A
(AB)1(AB)tAt
Bt
全国2010年7月高等教育自学考试线性代数
一、单项选择题(本大题共
1.设3阶方阵A
|B||(12
2,2,3)|
|A|1(
b)t
(AB)1,所以
(经管类)试题答案
10小题,每小题2分,共20分)
3),其中i(i1,2,3)为A的列向量,若
6,则IA|(C)
1,2,3)||(122,2,
3)|6.
A.12
C.6
D.12
2.计算行列式
A.180
120
C.120
D.180
210
3
(2)
3
(2)30180.
3.若A为3阶方阵且|A1|2,则|2A|(C)
C.4
131
|A|2,|2A|2|
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