单动点双动点图形运动1文档格式.docx
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(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:
PE=PF;
(2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;
(3)作点F关于点M的对称点F′,经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?
若存在,请直接写出t的值;
若不存在,请说明理由.
二、双动点
(2014年山东烟台第25题)在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.
(1)如图①,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由;
(2)如图②,当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,
(1)中的结论还成立吗?
(请你直接回答“是”或“否”,不需证明)
(3)如图③,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由;
(4)如图④,当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值.
(2014•温州第24题)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(0,6).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动,以CP,CO为邻边构造▱PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒.
(1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标.
(2)当点C在线段OB上时,求证:
四边形ADEC为平行四边形.
(3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MN⊥PE,截取FM=2,FN=1,且点M,N分别在一,四象限,在运动过程中▱PCOD的面积为S.
①当点M,N中有一点落在四边形ADEC的边上时,求出所有满足条件的t的值;
②若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时,直接写出S的取值范围.
三、图形运动
(2014•苏州第28题)如图,已知l1⊥l2,⊙O与l1,l2都相切,⊙O的半径为2cm,矩形ABCD的边AD、AB分别与l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,⊙O的移动速度为3cm,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s)
(1)如图①,连接OA、AC,则∠OAC的度数为 105 °
;
(2)如图②,两个图形移动一段时间后,⊙O到达⊙O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1,C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长);
(3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).
解:
(1)证明:
如图1,∵CE为⊙O的直径,∴∠CFE=∠CGE=90°
.
∵EG⊥EF,∴∠FEG=90°
.∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°
.∴四边形EFCG是矩形.
(2)①存在.连接OD,如图2①,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ADC=90°
∵点O是CE的中点,∴OD=OC.∴点D在⊙O上.
∵∠FCE=∠FDE,∠A=∠CFE=90°
,∴△CFE∽△DAB.∴=()2.
∵AD=4,AB=3,∴BD=5,
S△CFE=()2•S△DAB=×
×
3×
4=.
∴S矩形ABCD=2S△CFE=.
∵四边形EFCG是矩形,∴FC∥EG.∴∠FCE=∠CEG.
∵∠GDC=∠CEG,∠FCE=∠FDE,∴∠GDC=∠FDE.
∵∠FDE+∠CDB=90°
,∴∠GDC+∠CDB=90°
.∴∠GDB=90°
Ⅰ.当点E在点A(E′)处时,点F在点B(F′)处,点G在点D(G′处,如图2①所示.
此时,CF=CB=4.
Ⅱ.当点F在点D(F″)处时,直径F″G″⊥BD,如图2②所示,
此时⊙O与射线BD相切,CF=CD=3.
Ⅲ.当CF⊥BD时,CF最小,此时点F到达F″′,如图2③所示.
S△BCD=BC•CD=BD•CF″′.
∴4×
3=5×
CF″′.∴CF″′=.∴≤CF≤4.
∵S矩形ABCD=,∴×
()2≤S矩形ABCD≤×
42.∴≤S矩形ABCD≤12.
∴矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为.
②∵∠GDC=∠FDE=定值,点G的起点为D,终点为G″,
∴点G的移动路线是线段DG″.
∵∠GDC=∠FDE,∠DCG″=∠A=90°
,∴△DCG″∽△DAB.
∴=.∴=.∴DG″=.
∴点G移动路线的长为.
证明:
(1)如图,连接PM,PN,
∵⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,
∴PM⊥MF,PN⊥ON且PM=PN,
∴∠PMF=∠PNE=90°
且∠NPM=90°
,∵PE⊥PF,
∠NPE=∠MPF=90°
﹣∠MPE,
在△PMF和△PNE中,,∴△PMF≌△PNE(ASA),
∴PE=PF,
(2)解:
①当t>1时,点E在y轴的负半轴上,如图,
由
(1)得△PMF≌△PNE,∴NE=MF=t,PM=PN=1,
∴b=OF=OM+MF=1+t,a=NE﹣ON=t﹣1,
∴b﹣a=1+t﹣(t﹣1)=2,∴b=2+a,
②0<t≤1时,如图2,点E在y轴的正半轴或原点上,
同理可证△PMF≌△PNE,
∴b=OF=OM+MF=1+t,a=ON﹣NE=1﹣t,
∴b+a=1+t+1﹣t=2,∴b=2﹣a,
(3)如图3,(Ⅰ)当1<t<2时,
∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,
∴F′(1﹣t,0)
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,
∴Q(1﹣t,0)∴OQ=1﹣t,
由
(1)得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t,∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴=∴=,
解得,t=,当△OEQ∽△MFP时,∴=,
=,解得,t=,
(Ⅱ)如图4,当t>2时,
∴Q(1﹣t,0)∴OQ=t﹣1,
由
(1)得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t,∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴=∴=,无解,
当△OEQ∽△MFP时,∴=,=,解得,t=2±
,
所以当t=,t=,t=2±
时,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似.
(1)AE=DF,AE⊥DF.理由:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°
.∵DE=CF,∴△ADE≌△DCF.
∴AE=DF,∠DAE=∠CDF,由于∠CDF+∠ADF=90°
,∴∠DAE+∠ADF=90°
.∴AE⊥DF;
(2)是;
(3)成立.
理由:
由
(1)同理可证AE=DF,∠DAE=∠CDF
延长FD交AE于点G,
则∠CDF+∠ADG=90°
∴∠ADG+∠DAE=90°
(4)如图:
由于点P在运动中保持∠APD=90°
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧,
设AD的中点为O,连接OC交弧于点P,此时CP的长度最小,
在Rt△ODC中,OC=,
∴CP=OC﹣OP=.
(1)∵OB=6,C是OB的中点,∴BC=OB=3,∴2t=3即t=,∴
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- 单动点双动点 图形 运动