裂项相消法求和附标准答案Word文档格式.docx
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,有
即
,……………………………………5分
故对
2.已知{an}是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,S4=2S2+8.
(Ⅰ)求公差d的值;
(Ⅱ)若a1=1,设Tn是数列{
}的前n项和,求使不等式Tn≥
对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值;
[解析](Ⅰ)设数列{an}的公差为d,
∵S4=2S2+8,即4a1+6d=2(2a1+d)+8,化简得:
4d=8,
解得d=2.……………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由a1=1,d=2,得an=2n-1,…………………………………………5分
∴
=
.…………………………………………6分
∴Tn=
≥
,…………………………………………8分
又∵不等式Tn≥
对所有的n∈N*恒成立,
,…………………………………………10分
化简得:
m2-5m-6≤0,解得:
-1≤m≤6.
∴m的最大正整数值为6.……………………………………………………12分
3.)已知各项均不相同的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Tn为数列
的前n项和,求T2012的值.
[答案](Ⅰ)设公差为d,由已知得
(3分)
解得d=1或d=0(舍去),∴a1=2.(5分)
故an=n+1.(6分)
(Ⅱ)
-
(8分)
∴Tn=
+
+…+
.(10分)
∴T2012=
.(12分)
4.)已知数列{an}是等差数列,
=8n+4,设数列{|an|}的前n项和为Sn,数列
的前n项和为Tn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:
≤Tn<
1.
[答案]
(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.(2分)
∵
=8n+4,
∴(an+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.
当n=1时,d(2a1+d)=12;
当n=2时,d(2a1+3d)=20.
解方程组
得
或
(4分)
经检验知,an=2n或an=-2n都满足要求.
∴an=2n或an=-2n.(6分)
(2)证明:
由
(1)知:
an=2n或an=-2n.
∴|an|=2n.
∴Sn=n(n+1).(8分)
∴
.
∴Tn=1-
=1-
1.(12分)
5.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.
(Ⅱ)令bn=(-1)n-1
求数列{bn}的前n项和Tn.
[答案]查看解析
[解析](Ⅰ)因为S1=a1,S2=2a1+
×
2=2a1+2,
S4=4a1+
2=4a1+12,
由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),
解得a1=1,
所以an=2n-1.
(Ⅱ)bn=(-1)n-1
=(-1)n-1
.
当n为偶数时,
Tn=
当n为奇数时,
+…-
=1+
所以Tn=
6.已知点
的图象上一点,等比数列
的首项为
,且前
项和
(Ⅰ)求数列
和
(Ⅱ)若数列
的前
项和为
,问
的最小正整数
是多少?
[解析]解:
(Ⅰ)因为
,所以
所以
又数列
是等比数列,所以
又公比
因为
又
所以数列
构成一个首项为1,公差为1的等差数列,
,当
时,
.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
,(10分)
由
,满足
的最小正整数为72.(12分)
7.在数列
中,
,且
成等差数列,
成等比数列(
).
(Ⅰ)求
及
,由此归纳出
的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:
[解析](Ⅰ)由条件得
由此可得
猜测
.(4分)
用数学归纳法证明:
①当
时,由上可得结论成立.
②假设当
时,结论成立,即
那么当
所以当
时,结论也成立.
由①②,可知
对一切正整数都成立.(7分)
(Ⅱ)因为
当
时,由(Ⅰ)知
综上所述,原不等式成立.(12分)
8.已知数列
项和是
(Ⅰ)求数列
(Ⅱ)设
,求使
成立的最小的正整数
的值.
[解析]
(1)当
,由
,
……………………1分
是以
为首项,
为公比的等比数列.
……………………4分
故
…………………6分
(2)由
(1)知
………………8分
故使
的值
.
………………12分
9.己知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)设Tn为数列
的前n项和,若Tn≤
¨
对
恒成立,求实数
的最小值.
[解析]122.
(Ⅰ)设公差为d.由已知得
……………………………3分
解得
………………………………6分
…
……………………………9分
恒成立,即
恒成立
又
∴
的最小值为
……………………………………………………………12分
10.已知数列
前
,首项为
成等差数列.
(Ⅰ)求数列
(II)数列满足
,求证:
[解析](Ⅰ)
成等差数列,∴
两式相减得:
.
是首项为
,公比为2的等比数列,
.
(6分)
(Ⅱ)
,
(8分)
.
(12分)
11.等差数列{an}各项均为正整数,a1=3,前n项和为Sn,等比数列{bn}中,b1=1,且b2S2=64,{
}是公比为64的等比数列.
(Ⅰ)求an与bn;
(Ⅱ)证明:
<
[答案](Ⅰ)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正整数,
an=3+(n-1)d,bn=qn-1.
依题意有
由(6+d)q=64知q为正有理数,又由q=
知,d为6的因子1,2,3,6之一,解①得d=2,q=8.
故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.
Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),
12.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,
=9a2a6.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列
的前n项和.
[答案](Ⅰ)设数列{an}的公比为q.由
=9a2a6得
=9
所以q2=
因为条件可知q>
0,故q=
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=
故数列{an}的通项公式为an=
(Ⅱ)bn=log3a1+log3a2+…+log3an
=-(1+2+…+n)
=-
=-2
的前n项和为-
13.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,其前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=16,b3S3=60.
(Ⅰ)求an和bn;
(Ⅱ)求
[答案](Ⅰ)设{an}的公差为d,且d为正数,{bn}的公比为q,
an=3+(n-1)d,bn=qn-1,
依题意有b2S2=q·
(6+d)=16,
b3S3=q2·
(9+3d)=60,(2分)
解得d=2,q=2.(4分)
故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(6分)
(Ⅱ)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),(8分)
(10分)
.(12分)
14.设数列{an}的前n项和Sn满足:
Sn=nan-2n(n-1).等比数列{bn}的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5.
(2)设数列
的前n项和为Mn,求证:
≤Mn<
[答案]
(1)∵T5=T3+2b5,∴b4+b5=2b5,即(a1-1)b4=0,又b4≠0,∴a1=1.
n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),
即(n-1)an-(n-1)an-1=4(n-1).
∵n-1≥1,∴an-an-1=4(n≥2),
∴数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列,
∴an=4n-3.(6分)
·
∴Mn=
(10分)
又易知Mn单调递增,故Mn≥M1=
综上所述,
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- 裂项相 消法 求和 标准答案