李雅普诺夫稳定性分析报告Word下载.docx
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2)
因为主子式
不定,
为不定函数。
3)
为不定矩阵,
4)
5)
□
5.2用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。
解方程组
得三个孤立平衡点(0,0),(1,-1)和(-1,1)。
在(0,0)处将系统近似线性化,得
,由于原系统为定常系统,且矩阵
的特征根
均具有负实部,于是根据李雅普诺夫定理可知系统在原点(0,0)附近一致渐近稳定。
在(1,-1)和(-1,1)处将系统近似线性化,得
,由于矩阵
,根据李雅普诺夫定理可知系统在点(1,-1)附近不稳定。
在(-1,1)处将系统近似线性化,得
,根据李雅普诺夫定理可知系统在点(1,-1)和点(-1,1)附近不稳定。
该题求解时往往容易忽略平衡点(1,-1)和(-1,1)。
5.3试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。
解由于题中未限定利用哪一种方法,且系统为线性定常系统,所以利用第一方法比较合适。
经计算知矩阵
的特征根为
,所以系统在原点是大范围渐近稳定的。
对于线性系统关于稳定性的结果是大范围的全局性结果。
5.4设线性离散时间系统为
试求在平衡状态系统渐近稳定的
值范围。
解令
由方程
得
解此方程得
若要
应有
。
5.5试用李雅普诺夫方法求系统
在平衡状态
为大范围渐近稳定的条件。
解用李雅普诺夫第一方法。
首先求系统矩阵的特征方程
由韦达定理,两个特征值同时具有负实部的充要条件为
□
5.6系统的状态方程为
试计算相轨迹从
点出发,到达
区域内所需要的时间。
解由于
,该系统发散,
单调增加。
注意到
,所以此题无解。
5.7给定线性时变系统
,
判定其原点
是否是大范围渐近稳定。
解取
,则
因为
,所以系统在原点处大范围渐近稳定。
5.8考虑四阶线性自治系统
应用李雅普诺夫的稳定判据,试以
表示这个系统的平衡点
渐近稳定的充要条件。
解在李雅普诺夫矩阵方程式
中,令
为
显然,
是半正定矩阵。
求矩阵方程式的解
是对称矩阵。
将方程左边的
行
列元素记成
元素,可求得下面的一系列等式:
(1,1)元素
(1,2)元素
(1,3)元素
(1,4)元素
(2,2)元素
(2,3)元素
(2,4)元素
(3,3)元素
(3,4)元素
(4,4)元素
由对于(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)元素的等式和
有
由对于(1,3)、(2,4)、(1,4)元素的等式,有
由(1,2)、(2,3)、(3,4)元素,有
因此
即,
为对角线矩阵。
为半正定阵,所以要检查
在原点
以外的
是否满足系统状态方程。
由于满足
的
同时满足
,而
时,状态方程的解为
,所以满足
的状态方程的解只有
由李雅普诺夫的稳定判据,
是渐近稳定的充要条件是对角矩阵
为正定阵。
是求的充要条件。
5.9下面的非线性微分方程式称为关于两种生物个体群的沃尔特纳(Volterra)方程式
式中,
、
分别是生物个体数,
是不为零的实数。
关于这个系统,1)试求平衡点;
2)在平衡点的附近线性化,试讨论平衡点的稳定性。
解
1)由
,得
同时满足这二式的
有两组:
和
即,系统的平衡点为:
平衡点(a)
平衡点(b)
2)分两种情况讨论。
平衡点(a)
线性化的微分方程为
其特征方程式是
时,平衡点(a)稳定,除此以外不稳定。
平衡点(b)
令
因此,在平衡点(b)线性化的微分方程式是
其特征方程式为
时,特征根是
,为正、负实数,平衡点(b)不稳定。
,为共轭纯虚数,平衡点(b)的稳定性在这样的线性化范围内不能决定。
5.10对于下面的非线性微分方程式试求平衡点;
在各平衡点进行线性化,试判别平衡点是否稳定。
解由
,知系统的平衡点是
1)在
处,将系统近似线性化得
其特征多项式是
这是胡尔维茨多项式,因此这些平衡点渐近稳定。
2)在
特征多项式是
,这不是胡尔维茨多项式。
因此这些平衡点不稳定。
5.11利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定:
解令矩阵
则由
解上述矩阵方程,有
即得
可知
是正定的。
因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。
系统的李雅普诺夫函数及其沿轨迹的导数分别为
又因为
5.12给定连续时间的定常系统
试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性。
解
易知(
)为其唯一的平衡状态。
现取
,且有:
为正定
容易看出,除了两种情况
(a)
任意,
(b)
时
以外,均有
所以,
为负半定。
(iii)检查
是否恒等于零。
考虑到使得
的可能性只有上述两种情况,所以问题归结为判断这两种情况是否为系统的受扰运动解。
先考察情况(a):
,则由于
可导出
,将此代入系统的方程可得:
这表明,除了点(
)外,
不是系统的受扰运动解。
再考察情况(b):
,则由
显然这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的受扰运动解。
综上分析可知,
(iv)当
时,显然有
于是,可以断言,此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
5.13试用克拉索夫斯基定理判断下列系统是否是大范围渐近稳定的。
解显然
是系统的一个平衡点。
由
知
由克拉索夫斯基定理可知系统在原点渐近稳定。
所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的。
5.14试用克拉索夫斯基定理判断下列系统的稳定性。
,知
5.15试用克拉索夫斯基定理确定使下列系统
的原点为大范围渐近稳定的参数
的取值范围。
因为系统在原点渐近稳定,所以当
,应有
,又
时,
的充要条件为
于是
应满足
又因为系统大范围渐近稳定,所以当
时,应有
注意
;
时,
综上,
的取值范围为:
,或
5.16试用变量—梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数
解设
的梯度为
的导数为
试取
则
当
注意到
满足旋度方程
,所以可知
由这个李亚普诺夫函数可看出,在
范围内,系统是渐近稳定的。
5.17用变量—梯度法求解下列系统的稳定性条件。
解设
显然,当
,于是可知
由上式可看出,对于给定的
,当
时,不难确定
使得
从而可得系统是渐近稳定的充分条件是
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