复数讲义(绝对经典)Word格式文档下载.doc
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复数复平面内的点
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.
三、复数的四则运算
1.复数与的和的定义:
2.复数与的差的定义:
3.复数的加法运算满足交换律:
4.复数的加法运算满足结合律:
5.乘法运算规则:
设,(、、、)是任意两个复数,
那么它们的积
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把换成,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
6.乘法运算律:
(1)
(2)
(3)
7.复数除法定义:
满足的复数(、)叫复数除以复数的商,记为:
或者
8.除法运算规则:
设复数(、),除以(,),其商为(、),
即∵
∴
由复数相等定义可知解这个方程组,得
于是有:
②利用于是将的分母有理化得:
原式
.
∴(
点评:
①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法,而复数与复数,相当于我们初中学习的的对偶式,它们之积为是有理数,而是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法.
9.共轭复数:
当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
例题精讲
1.复数的概念
【例1】已知为虚数单位),那么实数a,b的值分别为()
A.2,5B.-3,1C.-1.1D.2,
【答案】D
【例2】计算:
(表示虚数单位)
【答案】
【解析】∵,而(),故
【例3】设,,则下列命题中一定正确的是( )
A.的对应点在第一象限B.的对应点在第四象限
C.不是纯虚数D.是虚数
【解析】.
【例4】在下列命题中,正确命题的个数为( )
①两个复数不能比较大小;
②若是纯虚数,则实数;
③是虚数的一个充要条件是;
④若是两个相等的实数,则是纯虚数;
⑤的一个充要条件是.
⑥的充要条件是.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】复数为实数时,可以比较大小,①错;
时,,②错;
为实数时,也有,③错;
时,,④错;
⑤⑥正确.
2.复数的几何意义
【例5】复数(,为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】由已知在复平面对应点如果在第一象限,则,而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.
【例6】若,复数在复平面内所对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解析】结合正、余弦函数的图象知,当时,.
【例7】如果复数满足,那么的最小值是()
A.1 B. C.2 D.
【解析】设复数在复平面的对应点为,因为,
所以点的集合是轴上以、为端点的线段.
表示线段上的点到点的距离.此距离的最小值为点到点的距离,其距离为.
【例8】满足及的复数的集合是()
A.B.
C.D.
【解析】复数表示的点在单位圆与直线上(表示到点与点的距离相等,故轨迹为直线),故选D.
【例9】已知复数的模为,则的最大值为_______.
【解析】,
,故在以为圆心,为半径的圆上,表示圆上的点与原点连线的斜率.
如图,由平面几何知识,易知的最大值为.
【例10】复数满足条件:
,那么对应的点的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
【解析】A;
设,则有,,
化简得:
,故为圆.
【点评】①的几何意义为点到点的距离;
②中所对应的点为以复数所对应的点为圆心,半径为的圆上的点.
【例11】复数,满足,,证明:
【解析】设复数,在复平面上对应的点为,,由知,以,为邻边的平行四边形为矩形,,故可设,所以.
也可设,则由向量与向量垂直知,
,故.
【例12】已知复数,满足,,且,求与的值.
【答案】;
4.
【解析】设复数,在复平面上对应的点为,,由于,
故,
故以,为邻边的平行四边形是矩形,从而,则;
【例13】已知,,,求.
【解析】设复数,在复平面上对应的点为,由知,以,为邻边的平行四边形是菱形,记所对应的顶点为,
由知,(可由余弦定理得到),故,
从而.
【例14】已知复数满足,求的最大值与最小值.
【答案】,
【解析】设,则满足方程.
,
又,故当时,;
当时,有.
3.复数的四则运算
【例15】已知,若,则等于( )
A. B. C. D.4
【例16】计算:
【解析】原式.
【例17】已知复数,,则的最大值为( )
A. B. C. D.3
【解析】
故当时,有最大值.
【例18】对任意一个非零复数,定义集合.
(1)设是方程的一个根,试用列举法表示集合.若在中任取两个数,求其和为零的概率;
(2)若集合中只有个元素,试写出满足条件的一个值,并说明理由.
(1);
(2).
【解析】
(1)∵是方程的根,
∴或,不论或,,
于是.
(2)取,则及.
于是或取.(说明:
只需写出一个正确答案).
【例19】解关于的方程.
【答案】.
【解析】错解:
由复数相等的定义得.
分析:
“,且成立”的前提条件是,但本题并未告诉是否为实数.
法一:
原方程变形为,.
由一元二次方程求根公式得,.
原方程的解为,.
法二:
设,则有,
由②得:
,代入①中解得:
或,
故方程的根为.
【例20】已知,,对于任意,均有成立,试求实数的取值范围.
【解析】,,
对恒成立.
当,即时,不等式恒成立;
当时,.
综上,.
【例21】关于的方程有实根,求实数的取值范围.
【解析】误:
方程有实根,.
解得或.
析:
判别式只能用来判定实系数一元二次方程根的情况,而该方程中与并非实数.
正:
设是其实根,代入原方程变形为,由复数相等的定义,得,解得.
【例22】设方程的根分别为,,且,求实数的值.
【答案】或.
【解析】若,为实数,则且,
解得.
若,为虚数,则且,共轭,
,解得.
综上,或.
【例23】用数学归纳法证明:
并证明,从而.
【解析】时,结论显然成立;
若对时,有结论成立,即,
则对,
由归纳假设知,上式
从而知对,命题成立.
综上知,对任意,有.
易直接推导知:
故有.
【例24】若是方程()的解,
求证:
【解析】将解代入原方程得:
将此式两边同除以,则有:
即,
【例25】设、为实数,且,则=________.
【答案】4
【解析】由知,,
故,解得,故.
【例26】已知是纯虚数,求在复平面内对应点的轨迹.
【答案】以为圆心,为半径的圆,并去掉点和点.
【解析】法一:
设(),
则是纯虚数,
即的对应点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,并去掉点和点.
∵是纯虚数,∴(且)
∴,∴,得到,
设(),则()
∴的对应点的轨迹以为圆心,为半径的圆,并去掉点和点.
【例27】设复数满足,求的最值.
【解析】由题意,,则.
设,
则.
当时,,此时;
当时,,此时.
【例28】若,,试求.
【解析】∵,
又知,∴
设(),则,∴,即,
由复数相等定义得,解得.∴.
故.
【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质:
①设()的共轭复数为,则;
;
②为实数;
③为纯虚数;
④对任意复数有;
,特别地有;
⑤,.,,.
以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明.
【例29】已知虚数为的一个立方根,即满足,且对应的点在第二象限,证明,并求与的值.
【答案】0;
,解得:
或.
由题意知,证明与计算略;
由题意知,故有.
又实系数方程虚根成对出现,故的两根为.
由韦达定理有.
【点评】利用的性质:
,可以快速计算一 些相关的复数的幂的问题.
【例30】若(),
则有,即,
,解得,即.
【例31】设是虚数,是实数,且.
(1)求的值及的实部的取值范围;
(2)设,求证:
为纯虚数;
(3)求的最小值.
的实部的取值范围是;
(3)1.
【解析】
(1)设,,
则,
因为是实数,,所以,即.
于是,,,
所以的实部的取值范围是.
因为,,所以为纯虚数.
(3).
因为,所以,
当,即时,取得最小值.
【例32】对任意一个非零复数,定义集合.
(1)设是方程的一个根,试用列举法表示集合;
(2)设复数,求证:
(2)略
∴或,
当时,∵,.
∴,
当时,∵,
∴.
∴;
(2)∵,∴存在,使得.
于是对任意,.
由于是正奇数,,∴.
【例33】已知复数,和,其中均为实数,为虚数单位,且对于任意复数,有,.
(1)试求的值,并分别写出和用表示的关系式;
(2)将作为点的坐标,作为点的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:
它将平面上的点变到这一平面上的点.当点在直线上移动时,试求点经该变换后得到的点的轨迹方程;
(3)是否存在这样的直线:
它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?
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