离散型随机变量的均值与方差Word文件下载.docx
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②曲线是单峰的,它关于直线__x=μ___对称;
③曲线在x=μ处达到峰值;
④曲线与x轴之间的面积为__1___.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值:
①P(μ-σ<X≤μ+σ)=__0.6826___;
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=__0.9544___;
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=__0.9974___.
计算均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差,可直接用定义或公式求;
(2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差,可直接用均值及方差的性质求;
(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),则可直接利用它们的均值、方差公式来求;
1.(2019·
南通模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X≥4)=0.1587,则P(2<
X<
4)=( A )
A.0.6826 B.0.3413
C.0.4603 D.0.9207
[解析] ∵随机变量X服从正态分布N(3,1),∴正态曲线的对称轴是直线x=3,∵P(X≥4)=0.1587,∴P(2<
4)=1-2P(X≥4)=1-0.3174=0.6826.故选A.
2.(2019·
济南模拟)现有10张奖券,8张2元的,2张5元的,某人从中随机地、无放回地抽取3张,则此人得奖金额的数学期望是( B )
A.6 B.7.8
C.9 D.12
[解析] P(ξ=6)=,P(ξ=9)=,P(ξ=12)=,则E(ξ)=6×
+9×
+12×
=7.8.
3.(2019·
广西名校联考)设整数m是从不等式x2-2x-8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素,记随机变量ξ=m2,则ξ的数学期望E(ξ)=( B )
A.1 B.5
C.2 D.
[解析] 由x2-2x-8≤0得-2≤x≤4,∴S={-2,-1,0,1,2,3,4},∵ξ=m2,∴ξ可取的值分别为0,1,4,9,16,相应的概率分别为,,,,,∴ξ的数学期望E(ξ)=0×
+1×
+4×
+16×
=5.故选B.
4.(2018·
辽宁六校协作体联考)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则E(X)=__2___.
[解析] 由题意得X~B(100,0.02),∴E(X)=100×
0.02=2.
5.随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=_____.
[解析] 设P(ξ=1)=p,则ξ的分布列如下:
ξ
1
2
P
p
-p
由E(ξ)=1,得p+2(-p)=1,可得p=,所以D(ξ)=(0-1)2×
+(1-1)2×
+(2-1)2×
=.故填
6.装有某种产品的盒中有7件正品,3件次品,无放回地每次取一件产品,直到抽到正品为止,已知抽取次数ξ为随机变量,则抽取次数ξ的数学期望E(ξ)=_____.
[解析] 由题意可知,抽取次数ξ的概率分布列如下:
3
4
则E(ξ)=1×
+2×
+3×
=.
考点1 离散型随机变量的均值与方差——多维探究
角度1 二项分布的均值、方差问题
例1 (2019·
沈阳模拟)某新建公司规定,招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班.公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据,按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](单位:
小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.
(1)求抽取的200名职工中,参加这种技能培训时间不少于90小时的人数,并估计从招聘职工中任意选取一人,其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率;
(2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人,记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数,试求X的分布列和数学期望E(X)和方差D(X).
[解析]
(1)依题意,培训时间在[90,95)小时的人数为200×
0.06×
5=60,
在[95,100)小时的人数为200×
0.02×
5=20,故满足题意职工人数为80人,所求概率估计为P==.
(2)依题意,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C()3=,
P(X=1)=C()()2=,P(X=2)=C()2()=,
P(X=3)=C()3=,
则随机变量X的分布列为
X
∵X~B(3,),
∴E(X)=3×
=,D(X)=3×
×
角度2 非二项分布的均值、方差问题
例2 (2019·
青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动,该滑雪场的收费标准是:
滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;
1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;
两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与均值E(ξ),方差D(ξ).
[解析]
(1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0,40,80元,
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为(1--)=,(1--)=.
两人都付0元的概率为P1=×
=,
两人都付40元的概率为P2=×
两人都付80元的概率为P3=×
则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=++=.
(2)设甲、乙所付费用之和为ξ,ξ的可能取值为0,40,80,120,160,则
P(ξ=0)=×
P(ξ=40)=×
+×
P(ξ=80)=×
P(ξ=120)=×
P(ξ=160)=×
所以ξ的分布列为
40
80
120
160
E(ξ)=0×
+40×
+80×
+120×
+160×
=80.
D(ξ)=(0-80)2×
+(40-80)2×
+(80-80)2×
+(120-80)2×
+(160-80)2×
名师点拨 ☞
利用均值与方差解决实际问题的方法
(1)求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
①理解ξ的意义,写出ξ可能的全部取值;
②求ξ取每个值的概率;
③写出ξ的分布列;
④由均值的定义求E(ξ);
⑤由方差的定义求D(ξ).
(2)二项分布的期望与方差
如果ξ~B(n,p),则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
〔变式训练1〕
(1)(角度2)(2019·
包头模拟)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
①若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格品的概率;
②若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定商家从这20件产品中任取2件,都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列及数学期望E(ξ),并求该商家拒收这批产品的概率.
(2)(角度1)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;
若只有1个红球,则获二等奖;
若没有红球,则不获奖.
①求顾客抽奖1次能获奖的概率;
②若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.
[解析]
(1)①记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A,用对立事件来算,有P(A)=1-P()=1-0.24=0.9984.
②ξ可能的取值为0,1,2,
P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
故ξ的分布列为
记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B,则商家拒收这批产品的概率P=1-P(B)=1-=.
所以商家拒收这批产品的概率为.
(2)①记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},
B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽奖1次能获奖}.
因为P(A1)==,P(A2)==,
所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)·
P(A2)=×
P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]·
(1-)+(1-)×
故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.
②顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,
由
(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B(3,).
于是P(X=0)=C()1()3=,
P(X=1)=C()0()2=,
P(X=2)=C()2()1=,
P(X=3)=C()3()0=.
故X的分布列为
X的数学期望为E(X)=3×
考点2 均值与方差在决策中的应用——师生共研
例3 (2019·
贵州调研)某投资公司在2018年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:
项目一:
新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;
项目二:
通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情史发生的概率分别为,和.
针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
[解析] 若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为
X1
300
-150
∴E(X1)=300×
+(-150)×
=200.
若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为
X2
500
-300
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- 关 键 词:
- 离散 随机变量 均值 方差