高中数学人教版选修21习题 综合素质检测12 含答案Word格式文档下载.docx
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3得-1<
5,
∵0<
5⇒-1<
5但-1<
50<
∴甲是乙的充分不必要条件,故选A.
3.若抛物线y2=8x上的点P(x0,y0)到焦点F的距离为3,则|y0|等于( )
A. B.2
C.2D.4
[解析] 过点P作抛物线的准线l的垂线,P1为垂足,则|PF|=|PP1|=x0+=x0+2=3,所以x0=1,于是|y0|=2=2.
4.命题p:
若a·
b>
0,则a与b的夹角为锐角;
命题q:
若函数f(x)在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确的是( )
A.“p或q”是真命题B.“p或q”是假命题
p为假命题D.¬
q为假命题
[解析] 当a·
0时,a与b的夹角为锐角或零度角,
∴命题p是假命题;
命题q是假命题,例如f(x)=,所以“p或q”是假命题,选B.
5.命题“若a>
-3,则a>
-6”以及它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
[解析] 原命题和它的逆否命题为真.
6.已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈(,1),则实数m的取值范围是( )
A.(0,)B.(,+∞)
C.(0,)∪(,+∞)D.(,1)∪(1,)
[答案] C
[解析] 椭圆x2+my2=1的标准方程为x2+=1.<
e<
1,即0<
<
.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=1,b2=,m>
;
当椭圆的焦点在y轴上时,a2=,b2=1,则0<
m<
.所以实数m的取值范围是0<
或m>
.
7.已知命题p:
∃x∈R,x2+1<
2x;
若mx2-mx-1<
0恒成立,则-4<
0,那么( )
A.“¬
p”是假命题B.q是真命题
C.“p或q”为假命题D.“p且q”为真命题
[解析] 因为x2+1<
2x,即x2-2x+1<
0,也即(x-1)2<
0,所以命题p为假;
0恒成立,则必须m=0或,则-4<
m≤0,所以命题q为假,故选C.
8.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
[解析] 对于椭圆C1,∵长轴长2a1=26,∴a1=13,又离心率e1==,∴c1=5.由题意知曲线C2为双曲线,且与椭圆C1同焦点,∴c2=5,又2a2=8,∴a2=4,b2==3,又焦点在x轴上,
∴曲线C2的标准方程为-=1.
9.如图,F1、F2是椭圆C1:
+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )
A.B.
C.D.
[答案] D
[解析] 不妨设双曲线方程为-=1.
由题意知|BF1|-|BF2|=2a⇒|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·
|BF2|=4a2,①
并由勾股定理得|BF1|2+|BF2|2=4c2=12,②
由①②知12-4a2=2|BF1|·
|BF2|,∴|BF1|·
|BF2|=6-2a2.
下面求|BF1|·
|BF2|的值.在椭圆中|BF1|+|BF2|=4,故|BF1|2+|BF2|2+2|BF1|·
|BF2|=16,
又由②知|BF1|2+|BF2|2=4c2=12,
∴|BF1|·
|BF2|=2,因此有c2-a2=1,
∵c2=3,∴a2=2,∴C2的离心率e==.
10.下列说法不正确的是( )
A.“∃x0∈R,x-x0-1<
0”的否定是“∀x∈R,x2-x-1≥0”
B.命题“若x>
0且y>
0,则x+y>
0”的否命题是假命题
C.“∃a∈R,使方程2x2+x+a=0的两根x1、x2满足x1<
1<
x2”和“函数f(x)=log2(ax-1)在[1,2]上单调递增”都为真
D.△ABC中,A是最大角,则sin2B+sin2C<
sin2A是△ABC为钝角三角形的充要条件
[解析] 因为2x2+x+a=0的两根x1、x2,∴函数f(x)=log2(ax-1)在[1,2]上单调增为假,满足x1<
x2的充要条件是2+1+a<
0,∴a<
-3,当a<
-3时,函数f(x)=log2(ax-1)在[1,2]上无意义.∴“∃a∈R使方程2x2+x+a=0的两根x1,x2满足x1<
x2”为真,故选C.
11.已知点F为抛物线y2=-8x的焦点,O为坐标原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为( )
A.6B.2+4
C.2D.4+2
[解析] 设点A的坐标为(x1,y1),由已知得-x1+2=|AF|=4,则x1=-2,y=-8x1=16,取y1=4,得A(-2,4).设点O关于准线x=2的对称点为B,则B(4,0),连接AB交准线于一点,则该点就是满足要求的使|PA|+|PO|取得最小值的点P,此时|AB|=2,即|PA|+|PO|的最小值为2.
12.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )
[解析] 设双曲线的方程为-=1(a>
0,b>
0),由题意知c=3,a2+b2=9,设A(x1,y1),B(x2,y2)则有:
,两式作差得:
==,又AB的斜率是=1,所以b2=a2,代入a2+b2=9得,a2=4,b2=5,所以双曲线标准方程是-=1,故选B.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)
13.写出命题“若方程ax2-bx+c=0的两根均大于0,则ac>
0”的一个等价命题是____________________________________.
[答案] 若ac≤0,则方程ax2-bx+c=0的两根不全大于0.
14.过点P(0,4)与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线有________条.
[答案] 3
[解析] 作出抛物线y2=2x的图形如图,可以看出点P在y轴上,由图中看出过点P有3条直线与抛物线只有一个公共点.其中包括y轴(斜率不存在的切线),过点P与x轴平行的直线以及过点P与抛物线相切的斜率存在一条直线.
15.设p:
方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;
q:
方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,则使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是________.
[答案] (-∞,-2]∪[-1,3)
[解析] 对于方程x2+2mx+1=0有两个不等正根,
∴,∴m<
-1,
方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,
Δ=4(m-2)2-4(-3m+10)<
0,
∴-2<
3,若p真q假,则m≤-2;
若p假q真,则-1≤m<
3.
16.(2016·
北京理,13)双曲线-=1(a>
0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=________.
[答案] 2
[解析] 双曲线-=1的渐近线方程为y=±
x,由已知可得两条渐近线方程互相垂直,由双曲线的对称性可得=1.又正方形OABC的边长为2,所以c=2,所以a2+b2=c2=
(2)2,解得a=2.
三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)判断下列命题的真假:
(1)“若自然数a能被6整除,则a能被2整除”的逆命题;
(2)“若0<
5,则|x-2|<
3”的否命题及逆否命题;
(3)命题“若不等式(a-2)x2+2(a-2)·
x-4<
0对一切x∈R恒成立,则a∈(-2,2)”及其逆命题.
[解析]
(1)逆命题:
若自然数a能被2整除,则a能被6整除.逆命题为假.反例:
2,4,14,22等都不能被6整除.
(2)否命题:
若x≤0或x≥5,则|x-2|≥3.否命题为假.反例:
x=-≤0,但|--2|=<
3.逆否命题:
若|x-2|≥3,则x≤0或x≥5.逆否命题为真,|x-2|≥3⇒x≥5或x≤-1.
(3)原命题为假.因为(a-2)x2+2(a-2)x-4<
0,当a=2时,变为-4<
0,也满足条件.逆命题:
若a∈(-2,2),则不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<
0对一切x∈R恒成立.逆命题为真,因为当a∈(-2,2)时,Δ<
0,且a-2<
0.
18.(本小题满分12分)已知三点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0).
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(2)设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F′1、F′2,求以F′1、F′2为焦点过点P′的双曲线的标准方程.
[解析]
(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为+=1(a>
0),则c=6,2a=|PF1|+|PF2|=+=6,所以a=3,b2=a2-c2=45-36=9.
故所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为P′(2,5)、F′1(0,-6)、F′2(0,6).
设所求双曲线的标准方程为-=1(a1>
0,b1>
0),由题意知,c1=6,2a1=||P′F′1|-|P′F′2||=|-|=4,所以a1=2,b=c-a=36-20=16.
故所求双曲线的标准方程为-=1.
19.(本小题满分12分)已知a>
0设命题p:
函数y=()x为增函数.命题q:
当x∈[,2]时函数f(x)=x+>
恒成立.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求a的范围.
[解析] 当y=()x为增函数,得0<
a<
1.
当x∈[,2]时,因为f(x)在[,1]上为减函数,在[1,2]上为增函数.
∴f(x)在x∈[,2]上最小值为f
(1)=2.
当x∈[,2]时,由函数f(x)=x+>
恒成立.
得2>
解得a>
如果p真且q假,则0<
a≤;
如果p假且q真,则a≥1.
所以a的取值范围为(0,]∪[1,+∞).
20.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:
数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
[证明] 充分性:
当q=-1时,a1=p-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),当n=1时也成立.
于是==p,即数列{an}为等比数列.
必要性:
当n=1时,a1=S1=p+q.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),
∵p≠0且p≠1,∴==p,
∵{an}为等比数列,
∴==p,即=p,
∴p-1=p+q,∴q=-1.
综上所述,q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件.
21.(本小题
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