届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何95椭圆第2课时学案理北师大版Word文件下载.docx
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+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不重合的公共点;
(2)有且只有一个公共点;
(3)没有公共点.
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立,
得方程组
将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③
方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×
9×
(2m2-4)=-8m2+144.
(1)当Δ>
0,即-3<
3时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.
(2)当Δ=0,即m=±
3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)当Δ<
0,即m<
-3或m>
3时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
题型二 弦长及弦中点问题
命题点1 弦长问题
典例斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( )
A.2B.C.D.
答案 C
解析 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
直线l的方程为y=x+t,
由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,
则x1+x2=-t,x1x2=.
∴|AB|=|x1-x2|
=·
,
当t=0时,|AB|max=.
命题点2 弦中点问题
典例已知椭圆E:
+=1(a>
b>
0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以运用点差法,
所以直线AB的斜率为k=,
设直线方程为y=(x-3),
联立直线与椭圆的方程得
(a2+b2)x2-6b2x+9b2-a4=0,
所以x1+x2==2,
又因为a2-b2=9,解得b2=9,a2=18.
命题点3 椭圆与向量等知识的综合
典例(2017·
沈阳质检)已知椭圆C:
0),e=,其中F是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l与椭圆C交于点A,B,线段AB的中点横坐标为,且=λ(其中λ>
1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求实数λ的值.
解
(1)由椭圆的焦距为2,知c=1,又e=,∴a=2,
故b2=a2-c2=3,
∴椭圆C的标准方程为+=1.
(2)由=λ,可知A,B,F三点共线,设点A(x1,y1),点B(x2,y2).
若直线AB⊥x轴,则x1=x2=1,不符合题意;
当AB所在直线l的斜率k存在时,
设l的方程为y=k(x-1).
由消去y得
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.①
①的判别式Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)
=144(k2+1)>
0.
∵
∴x1+x2==2×
=,∴k2=.
将k2=代入方程①,得4x2-2x-11=0,
解得x=.
又=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),=λ,
即1-x1=λ(x2-1),λ=,又λ>
1,
∴λ=.
思维升华
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,应用根与系数的关系,解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=
=(k为直线斜率).
(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.
跟踪训练(2018·
长春调研)已知椭圆+=1(a>
0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=,直线l交椭圆于M,N两点.
(1)若直线l的方程为y=x-4,求弦MN的长;
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式.
解
(1)由已知得b=4,且=,
即=,∴=,
解得a2=20,∴椭圆方程为+=1.
将4x2+5y2=80与y=x-4联立,
消去y得9x2-40x=0,∴x1=0,x2=,
∴所求弦长|MN|=|x2-x1|=.
(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0),
设线段MN的中点为
Q(x0,y0),
由三角形重心的性质知
=2,
又B(0,4),∴(2,-4)=2(x0-2,y0),
即故得x0=3,y0=-2,
即Q的坐标为(3,-2).
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=6,y1+y2=-4,
且+=1,+=1,
以上两式相减得+=0,
∴kMN==-·
=-×
=,
故直线MN的方程为y+2=(x-3),
即6x-5y-28=0.
高考中求椭圆的离心率问题
考点分析离心率是椭圆的重要性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般有两类:
一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;
另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围,无论是哪类问题,其难点都是建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表示,转化为关于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.
典例1已知椭圆E:
+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:
3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.B.
C.D.
解析 设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|+|BF|=4,
∴|AF|+|AF0|=4,
∴a=2.
设M(0,b),则M到直线l的距离d=≥,
∴1≤b<2.
离心率e====∈,
故选A.
答案 A
典例2(12分)如图,设椭圆方程为+y2=1(a>1).
(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
规范解答
解
(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM,
由
得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,[2分]
故x1=0,x2=-,
因此|AM|=|x1-x2|
.[4分]
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.
记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,
且k1>
0,k2>0,k1≠k2.[5分]
由
(1)知|AP|=,
|AQ|=,
故=,
所以(k-k)[1+k+k+a2(2-a2)kk]=0.[7分]
由k1≠k2,k1>
0,k2>0得1+k+k+a2(2-a2)kk=0,
因此=1+a2(a2-2),①
因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>.
因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤,[10分]
由e===,得0<
e≤.
所以离心率的取值范围是.[12分]
1.若直线mx+ny=4与⊙O:
x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是( )
A.至多为1B.2
C.1D.0
答案 B
解析 由题意知,>
2,即<
2,
∴点P(m,n)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2.
2.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.
联立解得交点坐标为(0,-2),,
不妨设A点的纵坐标yA=-2,B点的纵坐标yB=,
∴S△OAB=·
|OF|·
|yA-yB|
=×
1×
故选B.
3.中心为(0,0),一个焦点为F(0,5)的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为,则该椭圆方程是( )
解析 c=5,设椭圆方程为+=1,联立方程得消去y,整理得(10a2-450)x2-12(a2-50)x+4(a2-50)-a2(a2-50)=0,由根与系数的关系得x1+x2==1,解得a2=75,所以椭圆方程为+=1.
4.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为( )
A.+y2=1B.+=1
解析 设椭圆C的方程为+=1(a>
0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以=,b2=a2-c2,所以a2=4,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆的方程为+=1.
5.从椭圆+=1(a>
0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )
解析 由题意可设P(-c,y0)(c为半焦距),
kOP=-,kAB=-,由于OP∥AB,
∴-=-,y0=,
把P代入椭圆方程得+=1,
∴2=,∴e==.故选C.
6.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P,Q两点,若△PF1F2为直角三角形,则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
解析 由题意可知,∠F1PF2是直角,且tan∠PF1F2=2,
∴=2,
又|PF1|+|PF2|=2a,
∴|PF1|=,|PF2|=.
根据勾股定理得2+2=(2c)2,
∴离心率e==.
7.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+)·
=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是( )
A.4B.3C.2D.1
解析 ∵(+)·
=(+)·
=0,
∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°
.
设|PF1|=m,|PF2|=n,
则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,mn=2,
∴=mn=1.
8.已知椭圆C:
0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则椭圆C的离心率e=________.
答案
解析 设椭圆的右焦点为F1,在△ABF中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以△ABF为直角三角形,且∠AFB=90°
,又
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- 高考 数学 一轮 复习 第九 平面 解析几何 95 椭圆 课时 学案理 北师大
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