弹性力学基础程尧舜同济大学出版社课后习题答案docxWord文件下载.docx
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—
btaibibib^i
h[bib3
a2b2ci
=[a,b,c『。
cacbcc
egCibiCiCi
C\C2C3
a3b3c3
2.4设a、b、c和〃是四个矢量•证明:
(axb)・(cxd)=(ac)(bd)-(ad)(bc)
ffi:
(ax方)・(cx〃)=Gb疋冰5・C/d朋加=eb丿cd加呦©
冰=aibicldm{SiiSjm-SimSjt)=(e・G)®
必)一(ad)
=(ac)(bd)-(ad)(bc)。
2.5设有矢量u=u^,o原坐标系绕Z轴转动〃角度,得到新坐标系,如图2.4所示。
试求矢量"
在新坐标系中的分量。
解:
/?
ri=cos0,0r2=sin〃,0门=0,
021=—sinQ,02'
2=cos/9,炖3=0,03,I=0,0J2=0,033=]。
ur=PaUi=U\cos6^+w2sin^,
W2r==-W|Sin&
+M2C0S&
Wy=P^iUi=“3o
2.6设有二阶张量T=%e®
e厂当作和上题和同的坐标变换时,试求张量卩在新坐标系
中的分量7?
r・Tvr%7]?
和石*解:
变换系数同上题。
八=0/皿产互尹+互齐cos2&
+互尹sin20,
⑴呼+呼辭升呼sin20,
T\'
y=7]3cos^+7^3sin^,
』3'
3'
=‘33。
2.7设有3”个数Ag,对任意加阶张量Bg,定义
C”12-inJlJ2-jm—Ail»
2"
injljl•'
jm
若5皿加2认为料+加阶张量,试证明如幷是n阶张量。
为书写简单起见,取n=2,772=2,则
(a)
Cijki=AijBki‘在新坐标系中,冇
Ci'
fkT=Ai'
j'
Bkr
因为<?
火和Bh是张量,所以有
fkT=0讥卩和卩k'
k0/7C脚=PiipjjAq0Hk0/7B*[=pi'
ifijjAijBkT比较上式和式(a),得
(A/-/Jii/3j'
jAij)Bkr=0
苗于〃是任意张量,故上式成立的充要条件是
Ay=papjjA,j
即Az是张量。
2.8设力为二阶张量,试证明I.A=trAo
r.A=^i®
ez-:
A涉j®
e^.=Ajk(e;
e;
)(e,©
)二4汕屁=A“=tr/。
2.9设a为矢量,力为二阶张量,试证明:
(1)a'
^A=-{A,xaY,
(2)Axa=-(axAr)T
(1)-(Arxa)r=-(Ajiei®
e;
xakek)T=-(Ay/ef®
akejknen)T=—(/1”久0问匕®
en)T=—Ajnake曲e:
®
e„=aktk^Aintj®
^n=axA。
(2)-(axAr)T=-(aielxAk,ej®
e<
)r=-(A;
6t^/>
en)r
=—(切e”®
ex)=An/e„®
a,e川e&
=At/e„®
e7x^,ef=Axa
2.10己知张量卩具冇矩阵
j23_
[T]=456
_789
求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。
丁的对称部分具有炬阵
ri35_
*([门+[7?
)=357,
|_579_
T的反对称部分具冇矩阵
「0-1-2'
U[T]-[T]T)=10-1o
|_210_
和反对称部分对应的轴向矢量为
co=C\—2e?
+e3。
2.11己知二阶张量T的矩阵为
「3-10_
[T]=-130
_001_
求T的特征值和特征矢屋。
3-/1
-1
3-A
=(1-A)[(3-Z)2-1J=O
1-2
由上式解得三个特征值为入=4,入=2,入=1。
将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45),可以求出三个特征矢量为
2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征欠量:
A=al+f3fn®
m、B=m®
n+n®
m其屮,a和0是实数,加和巾是两个相互垂直的单位矢量。
因为
/・〃?
=(a/+0/w(g)〃?
)・/w=(Q+0)〃,
所以rnikA的特征矢量,a+0是和其对应的特征值。
设a是和加垂直的任懑单位矢量,则冇
A^a={alfim®
mya=aa
所以和加垂直的任意单位矢量都是/的特征矢量,相应的特征值为a,显然G是特征方程的重根。
令
e2=-j=(m-n),e3=^U(/w+w),e【=e2xe3a/2V2
上而定义的©
是相互垂直的单位矢量。
张量B可以表示成
3=()匕®
ei—e>
ge?
+63
所以,三个特征值是1、o和一1,对应的特征矢量是®
、©
和e2。
2.13设Q和〃是矢量,证明:
(1)Vx(Vxa)=V(V-a)-V2«
(2)Vx(axA)=A-(Va)-tf(VA)+a(VA)—A(Va)
⑴这一等式的证明过程和书屮证明式(2.14)的过程相同,在此略。
Qd
(2)Px(axb)=ei亍x(a力卍伽©
CXiCXi
=(a人4+00心)勺如匕加e】=(cijjbk+ajbk))(5”】几—§
jin
=ajjb&
j+(1血,心—cijjbk^k—ciibk^k
=A(Va)-fl(VA)+a(VA)-A(Va)
2.14设a=x2yz.t\-2xz3e2-t-xz2e3,求»
v=y(aV-V«
)及其轴向矢量。
>r=y(«
V-V/z)
=^[(x2z+2z3)0®
e2+(x2y-z2)e,®
e3一(2才+x2z)e2®
ei-6xz2e2®
e3+(z2一妒》用3®
ei+6xz2e3®
e2]山上式很容易得到轴向矢量,也可以按下面的方法计算轴向欠量
X”=j[6x^2e,+(x2y-z2)e2一(2,+x2z)e3J。
2・15设S是一闭曲面,尸是从原点。
到任意一点的矢径,试证明:
⑴若原点0在S的外而,积分|^/5=0;
(2)若原点0在S的内部,积分1^/5=4^-.
r
(1)当厂工()时,有
V•(丄)=$(斗)=0(b)
因为原点在S的外面,上式在S所围的区域V中处处成立,所以由高斯公式得卅心呻心。
SV
(2)因为原点在S的内部,所以必定存在一个以原点为球心、半径为a的球面S'
完全在s的内部。
用V表示由s和s’所围的区域,在y中式(b)成立,所以
吟一忖S
ss'
在S"
上,r=a,n=-r/a,于是
2.16设/=)©
+(/-2龙)亡鸟一兀)©
试计算积分j(Vxf)ndS。
式中S是球面
S
x2+y2+z2=a2在xy平面的上面部分.
用c表示@x2+y2=a21即球\h\x2+y2+z2=a2和兀y平面的交线。
由Stokes公式得
j(Vxf)ndS=dr=Jyd兀+My=O。
第三章
3.1设/*是矢径、"
是位移,r=r+u.求务,并证明:
当1时,务是一个可
逆的二阶张量。
孚=字+字"
+训
arardr
务=/+汐的行列式就是书中的式(3.2),当《1时,这一行列式大于零,所
以半可逆。
dr
3.2设位移场为u=Ar,这里的力是二阶常张量,即/和厂无关。
求应变张量"
反对称张MX2=(«
V-Vw)/2及其轴向矢量e。
lN=A,£
=*(/+/「),女=*(/一/7),
[1d
w=—Vxw=—e,——xAMe;
®
e^-X/e/
22dxi
=~AcijmcHl3^=w
3.3设位移场为u=Ar,这里的/是二阶常张量,且鮭』1。
请证明:
(1)变形前的直线在变形后仍为直线;
(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面;
(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。
(1)方向和矢量Q相同且过矢径为几的点的直线方程可以写成
r=ta+r^
(1)
英中/是可变的参数。
变形后的矢径为
f=r+u=r+A'
r=(I+A)r
(2)
用I+A点积式⑴的两边,并利用式⑵,得
r=t(/+A)'
a+(I+A)-r0
上式也是直线方程,所农示的直线和矢量(/+/)&
平行,过矢径为(/+/)•%的点。
所以变形前的直线变形后仍然是直线。
r=Br(3)
变形前任意一个平面的方程可以表示成
ar=c(4)
其中“是和平面垂直的一个常矢量,C是常数。
将式(3)代入式(4),得
(a-B)-r=c⑸
上式表示的是和矢量“•〃垂直的平面。
所以变形前的平面在变形后仍然是平面。
⑶变形前两个平行的平面可以表示成
ar=C\,ar=c2
变形后变成
(a〃)F=Ci,{a-B)'
r=c2
仍是两个平行的平面。
3.4在某点附近,若能确定任意微线段的长度变化,试问是否能确定任意两条微线段Z间夹角的变化;
反之,若能确定某点附近任总:
两条微线段之间的夹角变化,试问能否确定任意微线段的长度变化。
答案:
能;
能。
3.5设位移场为u=Ar,其中/是二阶常张量,/I和加是两个单位矢量,它们Z间的夹角为6L求变形后&
的减小量。
〃和加方向的正应变分别为
£
n=nsn,£
m=nism
用&
和爲代替式(3.11)'
|'
的&
和G,经整理,得&
的减小量△&
为
2
△0=W£
/H-Ctg&
(7T&
巾+加£
加)
sin&
乂s=(A+AT)/2t所以
\0=^—n\A-\-Ar}ni-cXg3(nAn-\-mAfn)。
sin。
3.6设刃和m是两个单位欠量,dr=ndr和6r=m6r是两个微小的欠量,变形前它们所张的平行四边形而积为A=\drx6r\,试用应变张量把变形时它的而积变化率△A/A表示出来,其中△/!
是而积变形前后的改变量。
变形后,d尸和5『变成
df=dr+£
^dr+a)xdr,8f=6r+£
8r^CDx8r
对上面两式进行叉积,并略去高阶小量,得drx3r=drx^r+dr-€x3r^drxe^r对上式两边进行口身点积.略去高阶小量,得
(dFx莎)・(dfx
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