初三相似三角形讲义Word文件下载.docx

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（1）平行线分线段成比例定理:

三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

已知l1∥l2∥l3,

ADl1

BEl2

CFl3

可得

等.

（2）推论:

平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.A

DE

BC

由DE∥BC可得：

.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.

（3）推论的逆定理：

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：

利用比例式证平行线.

（4）定理:

平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

知识点4：

相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等

②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

知识点5：

相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

点拨：

在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。

注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含的相等的角，我们应注意公共角的运用。

两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”

三边对应成比例的两个三角形相似。

知识点六：

摄影定理

AD2=BD·

CDAB2=BD·

BCAC2=CD·

BC

特殊图形（双垂直模型）

∵∠BAC=90°

∴

BC

知识点七：

相似三角形的周长和面积

（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。

（3）相似三角形的周长比等于相似比；

（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方

补充：

相似三角形的识别方法

（1）定义法：

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

（2）平行线法：

平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

适用此方法的基本图形，（简记为A型，X型）

（3）三边对应成比例的两个三角形相似。

（4）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

（5）两角对应相等的两个三角形相似。

（6）一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。

（7）被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

相似三角形的基本图形：

判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；

若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。

相似三角形的应用：

求物体的长或宽或高；

求有关面积等。

经典习题

考点一：

平行线分线段成比例

1、（2013广东肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）

A．7B．7.5C．

8D．8.5

2、（2013•福州） 

如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°

，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是．（结果保留根号）

3、（2011湖南怀化）如图所示：

△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为（）

A．9B．6C．3D．4

4．（2011山东泰安）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）

A．

B．

C．

D．

5．（2012•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°

，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（　　）

B．

D．

考点二：

1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：

①△APE≌△AME；

②PM+PN=AC；

③PE2+PF2=PO2；

④△POF∽△BNF；

⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．

其中正确的结论有（　　）

5个

B．

4个

C．

3个

D．

2个

考点：

相似三角形的判定与性质；

全等三角形的判定与性质；

勾股定理；

正方形的性质

分析：

依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．

解答：

解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠DAC=45°

．

∵在△APE和△AME中，

，

∴△APE≌△AME，故①正确；

∴PE=EM=

PM，

同理，FP=FN=

NP．

∵正方形ABCD中AC⊥BD，

又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°

，且△APE中AE=PE

∴四边形PEOF是矩形．

∴PF=OE，

∴PE+PF=OA，

又∵PE=EM=

PM，FP=FN=

NP，OA=

AC，

∴PM+PN=AC，故②正确；

∵四边形PEOF是矩形，

∴PE=OF，

在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，

∴PE2+PF2=PO2，故③正确．

∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；

∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．

∴PM=PN，

又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，

∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．

故选B．

点评：

本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．

2、（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠ABC=60°

，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　）

2

2.5或3.5

3.5或4.5

2或3.5或4.5

含30度角的直角三角形．

专题：

动点型．

由Rt△ABC中，∠ACB=90°

，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DBE=90°

与若∠EDB=90°

时，去分析求解即可求得答案．

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°

，BC=2cm，

∴AB=2BC=4（cm），

∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，

∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），

若∠DBE=90°

当A→B时，∵∠ABC=60°

∴∠BDE=30°

∴BE=BD=（cm），

∴t=3.5，

当B→A时，t=4+0.5=4.5．

若∠EDB=90°

时，

∴∠BED=30°

∴BE=2BD=2（cm），

∴t=4﹣2=2，

当B→A时，t=4+2=6（舍去）．

综上可得：

t的值为2或3.5或4.5．

故选D．

此题考查了含30°

角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．

3、（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：

S△ABF=4：

25，则DE：

EC=（　　）

2：

5

3

3：

平行四边形的性质．

先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：

10：

25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：

EC的值，由AB=CD即可得出结论．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，

∴△DEF∽△BAF，

∵S△DEF：

25，

∴DE：

AB=2：

5，

∵AB=CD，

EC=2：

3．

本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．

4、（2013•宁夏）△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：

①DE=2；

②△ADE∽△ABC；

③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：

4；

④△ADE的周长与△ABC的周长之比为1：

其中正确的有　①②③　．（只填序号）

三角形中位线定理．

根据题意做出图形，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE=

BC=2，则可证得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得△ADE的面积与△ABC的面积之比为1