泰勒Taylor级数.docx
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泰勒Taylor级数
§4.3泰勒(Taylor)级数
教学目的:
1.理解并掌握泰勒定理;2.熟记基本初等函数的幂级
数展式,并能灵活运用间接法求解析函数在指定点处的
幂级数展式.
教学方法:
启发式讲授与指导练习相结合
教学过程:
幂级数是最简单的一种解析函数项级数,它有许多好的性质,因而可以作为研究解析函数的一种有效的具体工具.首先,我们来考察幂级数的敛散性情况.由幂级数和函数的性质知,幂级数的和函数在其收敛圆内表示一个解析函数.反之,圆域内的解析函数是否能成为适当幂级数的和函数呢?
请看下面的定理回答.
§4.3.1泰勒定理
【定理4.6】(泰勒定理)若函数在区域内解析,为内一点,为到的边界上各点的最短距离,则当时,在K内能展成幂级数,其中系数为
(系数的积分形式)(系数的微分形式)
(,,,,,)
并且展式是惟一的.
分析:
此定理的证明是第三章柯西积分公式的一个重要应用.首先用柯西积分公式将函数在K内任意一点的值表示为复积分,即对
其中圆周
(),z含于的内部
(如图4.8).然后设法将被积
函数表示成含有的
非负幂次的级数.
最后再考虑对此级数沿圆周逐项积分来达到目的.
证:
设z为K内任意取定的一点,总存在圆周
(),使得z含于的内部(如图4.8).由柯西积分公式得下面将表示成含有的非负次幂的级数.由于当时,,所以
从而
其中
下证.
由于在在区域内解析,从而在上连续,即,在上有,又由于,于是有
因为,所以在内成立.所以
再注意到解析函数的高阶导数公式
从而在K内有.
注:
10.定理中等式称为函数在点
的泰勒展式或幂级数展式;其系数
称
为泰勒系数,而等式右边的幂级数称为泰勒级数.
20.注意:
如果在区域D内有奇点,则使在的泰勒展式成立的为与距最近的一个奇点间的距离
.
30.展式的惟一性:
由于惟一,所以展式是惟一的.
重要结论:
函数在一点解析的充要条件是:
函数在该点的邻域内可以展开为幂级数(泰勒级数).解析函数的本质特点.
【定理】※函数在区域D内解
析的充分必要条件是在D内任
意一点a的邻域内可展成的幂
级数,即泰勒级数.(如图4.9)
40.由泰勒定理还可得到幂级数和函数在其收敛圆周上的解析状况
:
【定理】※若幂级数的收敛半径为,则其和函数
在其收敛圆周上至少有一个不解析点(称为奇点).
由此可得幂级数展式
成立的最大范围为圆域,
§4.3.2初等解析函数的基本展式
根据泰勒定理我们可以求一些初等解析函数的幂级数展式.通常求幂级数展式有两种方法:
一是直接利用泰勒定理,通过计算泰勒系数求展式(称为直接法),此方法一般用来导出一些可作为公式用的基本展式;二是利用已知基本展式借助幂级数的性质来求(称为间接法),此方法也是求展式的常用方法.
1.直接法与基本展式
利用直接法,我们可以得到下面的基本展式:
例1将在处展开为泰勒级数.
解:
由于且,则
所以,
其中®
注愇到
类似方法可得
(2ȕ
Е,
注意:
利琨借助于的展开式也可间接导出上述公式.
(3)多值函数的支点为和,记它的主值支为,其中定义域为复平面除去从到的负实轴的区域,则的所有单值解析分支为,(,,,)
(,,,).
在上面两式中将换成得
(4)一般幂函数当不为整数时,也是以和为支点的多值函数,记它的主值支,仍记为,其中为的主值支,定义域仍为复平面除去从到的负实轴的区域,则
.
(5)在(4)中,当时,,
在上式中,将换成得,,.
说明:
在考虑函数幂级数展式的系数之间的关系时,我们常常可借助定理1中的泰勒系数的公式(即采用直接法),另外还要注意泰勒系数的公式的两种形式(积分形式和微分形式).
2.展式的求法(间接法)举例
例2求下列函数在规定范围内的泰勒展开式
(1)在处;
(2)在的邻域内;
(3)在的邻域内;
(4)将展成的幂级数;
(5)在处;
(6)*展开为的幂级数.
解
(1)因为在全平面除外解析,所以在内展开为幂级数,为的收敛圆域.且有展开式
.
(2)因为在全平面除外解析,所以在内展开为幂级数,且时.由上问结论知为的收敛圆域.且有展开式
.
(3)因为要求且在全平面除外解析,所以的收敛半径为,在内展开为幂级数,为的收敛圆域.且有展开式
.
(4)因为在全平面除外解析,所以所以的收敛半径为,在内展开为幂级数,为的收敛圆域.且有展开式
,.
【
.】
(5)因为在从-1向左沿负实轴剪开的平面内解析,而-1是它的一个奇点,所以的收敛半径为,在内展开为幂级数,为的收敛圆域.又
.
在收敛圆内任取一条从0到的积分路径,将上式两端沿积分得
,.
(6)因为在全平面除外解析,所以的收敛半径为
在内展开为幂级数,为的收敛圆域.由求导得,即
.将此微分方程逐次求导得
,
,
………………
由于,由上述微分方程可求得
从而有,.
例3按要求将下列函数展开为幂级数.
(1)分别展开为和的幂级数;
解
.
.
(2)在展开为幂级数.
解
,.
(3)展开为的幂级数;
解,
.
.
(4)在的邻域内.
解
,.
(5)在展开为幂级数.
解.
(6)在展开为幂级数.
解
.
(7)在展开为幂级数.
解
.
说明:
在求具体函数的幂级数展式时,常常是借助五个基本展式以及幂级数的运算性质采用间接法来求.
练习.将下列函数按按的幂展开(即在展开成幂级数),并指出展式成立的范围.
(1),;
解
(1)
,
,
(
小结:
1.熟练掌握常用的几个展开式公式以及相应的收敛范围:
(1),.
(2)
(3)
2.必须知道要将函数变为谁的幂级数,从而能根据需要灵活进行函数恒等变形,以达到写出展示的目的.
3.在将已知级数求导数时,注意求和符号下标的变化.
4.幂级数收敛半径常用求法:
求中心点到函数最近奇点的距离.间接运用已知级数的收敛范围进行转化.
易犯错误:
1.对常用函数的Taylor展示不熟悉,造成展示写错的多.
2.弄不清要将函数写为哪个因式的幂级数.
3.幂级数求导数时,求和符号的下标错误.
4.不能灵活运用知识快捷求出收敛半径.
(注:
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