1995考研数三真题及解析Word格式.docx
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(B)A的任意一个m阶子式不等于零
(C)若矩阵B满足BA=0,则B=0
(D)A通过初等行变换,必可以化为(Em,0)的形式
⑷设随机变量X和Y独立同分布,记U二X-Y,V二XY,则随机变量U与V必然
(A)不独立(B)独立(C)相关系数不为零(D)相关系数为零
⑸设随即变量X服从正态分布N(比/),则随的增大,概率P{X—片ccr}()
(A)单调增大(B)单调减少(C)保持不变(D)增减不定
三、(本题满分6分)
x0
x=0,试讨论f(x)在x=0处的连续性和可导性.
lx0
四、(本题满分6分)
已知连续函数f(x)满足条件f(xH;
f3dte2x,求f(x).
五、(本题满分6分)
将函数y=|n(1-x-2x2)展成x的幕级数,并指出其收敛区间
六、(本题满分5分)
&
.y2)
计算min{x,y}e4y)dxdy.
七、(本题满分6分)
设某产品的需求函数为Q二Q(p),收益函数为R二pQ,其中p为产品价格,Q为需求
dR
dQQ=Q0
二a•0,收益对价格的边际效应
dp
p-p。
=c:
0,需求对价格的弹性
Ep=b1.
量(产品的产量),Q(p)为单调减函数.如果当价格为p0,对应产量为Q0时,边际收益
求P0和Q°
.
八、(本题满分6分)
设f(x)、g(x)在区间[-a,a](a-0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件f(x)f(-x^A(A为常数).
aa
(1)证明f(x)g(x)dx=Apg(x)dx;
迟
(2)利用⑴的结论计算定积分inxarctanexdx.
九、(本题满分9分)
已知向量组(I)宀,2,>
3;
(n)>
1,>
2,〉3,>
4;
(川)>
1,〉2,〉3,〉5'
如果各向量组的秩
分别为r(I)=r(ll)=3,r⑴I)=4.
证明:
向量组:
‘,:
2,>
3,:
5-二4的秩为4.
十、(本题满分10分)
22
已知二次型f(X1,X2,X3)=4x2-3x34x1X2-4为対8x2X3.
(1)写出二次型f的矩阵表达式;
(2)用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵
十一、(本题满分8分)
假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂;
以概率0.30需进一步调试经调试后以概率0.80可以出厂;
以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了
n(n_2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求:
(1)全部能出厂的概率:
;
(2)其中恰好有两台不能出厂的概率1;
(3)其中至少有两台不能出厂的概率二.
十二、(本题满分8分)
已知随机变量X和Y的联合概率密度为
O^x乞1,0空y乞1,
其他,
l4xy,
求X和Y联合分布函数F(x,y).
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
、填空题
(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)
【答案】
2(-1)nn!
(1x)n1
1_x21
【解析】
由于f(x)1=2(1x)」—1,
1+x1+x
f(x)=2(-1)(1x)二f(x)=2(-1)(-2)(1x)和山
所以
32皿心严辟.
⑵【答案】
2xyff
【解析】根据复合函数求导法则
z^yf-xyr-\占;
=y
lx丿
zy=Xf\f1
xzxyzy=xyf上-y2flx丿
【相关知识点】复合函数求导法则:
y
二(f(x))的导数为目二(f(x))f(x).
⑶【答案】xexC
【解析】在f(Inx)=1•x中令Inx=t,贝Uf(t)=1ef,从而
f(t)二1ddt二tdC=f(x)二xexC•
1
⑷【答案】—
‘100
220
(345
A-4A
I解析】由AA—AE,有闪AJ,故小帀.
100
A=220=10,
3
45
X
⑸【答案】Q
【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要求,首先提出原假设H。
再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设H。
是否成立.
n(n-1)
首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值」的假设检验问题•据此类型应该选取t检验的统计量是
n
v(Xi-X)
i4
X■—_
经过化简得壮,皿1).
【相关知识点】假设检验的一般步骤:
(1)确定所要检验的基本假设H0;
(2)选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布;
(3)对确定的显著性水平:
查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域;
(4)由样本计算统计量,并判断其是否落入否定域,从而对假设H0作出拒绝还是接受的判
断•
=lim
x)0
f
(1)-f(1-x)
二2lim
f
(1)—f(1—x)
2x
、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
所以应选(D).
(2)
(A)
【解析】由计算知
「人i1
2—dx,
2xln2xlnx2In2
:
x2■.二
且泊松积分edx,
Jo2
故应选(A).
注:
对于本题选项(A),由于当x=0时sinx=0,故在积分区间中x=0是瑕点,反常
i1
积分dx应分解为两个反常积分之和:
七inx
110111
dxdxdx,
Jsinx」sinx0sinx
11
而且dx收敛的充要条件是两个反常积分
inx
丄
/sinx
dx都收敛•
由于广义积分
--I1
/1Ix
[dx=lntan—
°
sinxI2儿
1111
即——dx发散,故——dx发散•
0sinx」sinx
在此不可误以为-一■是奇函数,于是
sinx
⑶【答案】
(C)
dx=0,从而得出它是收敛的错误结论
【解析】r(A)二m表示A中有m个列向量线性无关,有m阶子式不等于零,并不是任意
的,因此(A)、(B)均不正确.
经初等变换可把A化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不
'
010)
一定能化为标准形.例如,只用初等行变换就不能化成(E2,0)的形式,故(D)不正
201丿
确.
关于(C),由BA=O知r(B)r(A)空m,又r(A)=m,从而r(B)岂0,按定义又有
r(B)_0,于是r(B)=0,即B=0.故应选(C).
⑷【答案】
(D)
【解析】Cov(U,V)二Cov(X-Y,XY).
二Cov(X,XY)-Cov(Y,XY)
=Cov(X,X)Cov(X,Y)-Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)
二DX-DY.
由于X和Y同分布,因此DX二DY,于是有Cov(U,V)=0.
由相关系数的计算公式—Cov(X,Y),
VD^VDY
所以U与V的相关系数也为零,应选(D).
【相关知识点】协方差的性质:
Cov(aX,bY)二abCov(X,Y);
Cov(X1X2,Y)=Cov(Xj,Y)-Cov(X2,Y).
⑸【答案】
【解析】由于xLN(d;
「2),将此正态分布标准化,故一•N0,1,CT
fxnx-卩
p{X—4“}=P《v1》=加⑴-1.
IJ
计算看出概率P{|X—艸<CT}的值与CT大小无关.所以本题应选(C).
般要用连续性与可
【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数
故f(00)=f(0-0)=f(0),即f(x)在X=0处连续.
即f.(0)=f_(0)=0,故f(x)在x=0处可导,且f(0)=0.
【解析】首先,在变上限定积分中引入新变量s=L,
fxf'
-0t=30f(s)ds.
030
在上式中令x=0得f(0)=1,将上式两端对x求导数得
2x
f(x)=3f(x)2e.
由此可见f(x)是一阶线性方程f(x)-3f(x)二2e2x满足初始条件f(0)=1的特解•
用e"
x同乘方程两端,得f(x)e'
x=2e=积分即得f(x)=Ce3x-2e2x.
由f(0)=1可确定常数C=3,于是,所求的函数是f(X)二3e3x-2e2x.
2
【解析】由1-x-2x=(1-2x)(1x)知
ln(1—x—2x2)=1n(1—2x)In(1x).
In—x)十2x)-旦込七(廿込川,
23n
其收敛区间为
In(1-x-2x2)=€(-1)n+-+^1)n+e2x)A
n—n
、、:
anxn的收敛半径是正数R,则其收敛区间是开区间
n=0
(_R,R);
若其收敛半径是•:
,则收敛区间是(-:
,•:
)•
【解析】方法一:
本题中二重积分的积分区域D是全平面,设a■0,
Da一「(x,y)丨一a乞x乞a,-a<
y<
a,
则当a「:
时,有Da>
D.从而
:
(x2,y2)(x2,y2)
Imin{x,y}e」)dxdylim11min{x,y}e'
)dxdy.
a_抉d;
注意当xy时,min{x,y}=x;
当xy时,min{x,y}=y.于是
同理可得
方法
枣a.2Jn
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- 1995 考研 数三真题 解析