江苏省盐城市高三第一学期期初测试数学.doc
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江苏省盐城市2011-2012学年度高三年级摸底考试
数学试题
(总分160分,考试时间120分钟)
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.已知集合,则▲.
2.命题“”的否定是▲.
79
844467
93
第6题
3.已知复数为虚数单位),则=▲.
4.已知等差数列满足,则该数列的前9项和
▲.
是
开始
x←16
x←1,
结束
输出y
x>2
否
y←ex-2
第7题
x←
5.4张卡片上分别写有数字0,1,2,3,从这4张卡片中一次随机
抽取不同的2张,则取出的卡片上的数之差的绝对值等于2的概
率为▲.
6.某校举行2011年元旦汇演,七位评委为某班的小品打出的分数如
右上茎叶统计图所示,则去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数
据的平均值为▲.
7.执行右图所示的程序框图,则输出的的值是▲.
8.已知向量,若向量与向量垂直,则实
数的值为▲.
9.在平面上,若两个正方形的边长的比为1:
2,则它们的面积比为1:
4;
类似地,在空间,若两个正方体的棱长的比为1:
2,则它们的体积比
为▲.
第11题
y
x
A
F
O
B
10.若的最小值为,其
图象相邻最高点与最低点横坐标之差为,且图象过点,
则其解析式是▲.
11.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左顶点为,左焦点为,上顶点为,
若,则椭圆的离心率是▲.
12.与直线相切,且与圆相内切的半径最小的圆的方程
是▲.
13.已知函数,若,且,则的最小值是▲.
14.设等差数列满足:
公差,,且中任意两项之和也是该数列中的一项.若,则的所有可能取值之和为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.(本小题满分14分)
第15题
A
B
C
D
A1
B1
C1
如图,正三棱柱中,点是的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
平面.
16.(本小题满分14分)
如图,在中,边上的中线长为3,且,.
A
D
B
C
第16题
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求边的长.
17.(本小题满分14分)
某市出租汽车的收费标准如下:
在3以内(含3)的路程统一按起步价7元收费,超过3以外的路程按2.4元/收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分:
一是固定费用约为2.3元;二是燃油费,约为1.6元/;三是折旧费,它与路程的平方近似成正比,且当路程为100时,折旧费约为0.1元.现设一次载客的路程为.
(Ⅰ)试将出租汽车一次载客的收费与成本分别表示为的函数;
(Ⅱ)若一次载客的路程不少于2,则当取何值时,该市出租汽车一次载客每的收益
()取得最大值?
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系中,已知,,,直线与线段、分别交于点、.
(Ⅰ)当时,求以为焦点,且过中点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作直线交于点,记的外接圆为圆.
①求证:
圆心在定直线上;
第18题
P
A
R
O
F1
Q
x
y
F2
②圆是否恒过异于点的一个定点?
若过,求出该点的坐标;若不过,请说明理由.
19.(本小题满分16分)
已知为上的偶函数,当时,.
(Ⅰ)当时,求的解析式;
(Ⅱ)当时,试比较与的大小;
(Ⅲ)求最小的整数,使得存在实数,对任意的,都有.
20.(本小题满分16分)
已知数列满足,,.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)设,,证明:
是等差数列;
(Ⅲ)设,求数列的前项和.
江苏省盐城市2011/2012学年度高三年级摸底考试
数学附加题部分
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.(选修4—1:
几何证明选讲)
第21(A)题
A
·
O
B
E
l
D
C
如图,圆的直径,为圆周上一点,,过点
作圆的切线,过点作的垂线,为垂足,且与
圆交于点,求的度数与线段的长.
B.(选修4—2:
矩阵与变换)
已知矩阵=,求的特征值、及对应的特征向量、.
C.(选修4—4:
坐标系与参数方程)
已知直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为为参数),试判断与的位置关系.
D.(选修4—5:
不等式选讲)
已知为正数,且,试求的最大值.
[必做题]第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22.(本小题满分10分)
甲、乙等五名深圳大运会志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率;
(Ⅱ)设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数,求的分布列.
23.(本小题满分10分)
第23题
A
B
M
A1
B1
C1
C
如图,在直三棱柱中,∠90°,∠30°,,,是棱的中点.
(Ⅰ)求证:
⊥;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
盐城市2011/2012学年度高三年级摸底考试
数学参考答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1.2.3.4.455.6.857.18.49.
10.11.12.13.-1614.364
二、解答题:
本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.(本小题满分14分)
证:
(Ⅰ)因为是正三角形,而是的中点,所以………………………………3分
又BC是两个相互垂直的平面与面的交线,且,
所以……………………………………………………………………………………7分
(Ⅱ)连接,设,则E为的中点,连接,由是的中点,
得………11分又,且,所以平面………14分
16.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)因为,所以…………………………………………………………2分
又,所以…………………………………………………………4分
所以
………………………………………………………………………7分
(Ⅱ)在中,由正弦定理,得,即,解得……………10分
故,从而在中,由余弦定理,得
=,所以………………………………………………………14分
17.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)…………………………3分
设折旧费,将(100,0.1)代入,得.,解得……………………………………5分
所以…………………………………………………………………………7分
(Ⅱ)因为,所以……………………………………11分
①当时,由基本不等式,得(当且仅当时取等号)……………12分
②当时,由在[2,3]上单调递减,得…………13分
答:
该市出租汽车一次载客路程为500时,每的收益取得最大值…………………………14分
18.(本小题满分16分)
解:
(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分
而,所以,故椭圆的标准方程为……………………………………5分
(Ⅱ)①解法一:
易得直线,
所以可得,再由,得………………………………………8分
则线段的中垂线方程为,线段的中垂线方程为,
由,解得的外接圆的圆心坐标为…………………10分
经验证,该圆心在定直线上……………………………………………………11分
解法二:
易得直线,所以可得,
再由,得……………………………………………………………………8分
设的外接圆的方程为,
则,解得…………………………………10分
所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上…………………11分
②由①可得圆C的方程为……………………………13分
该方程可整理为,
则由,解得或,
所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为…………………………………16分
19.(本小题满分16分)
解:
(Ⅰ)当时,…………………………………………………3分
(Ⅱ)当时,单调递增,而是偶函数,所以在上单调递减,
所以>………………6分
所以当时,;当时,;
当时,………………………………………………………………8分
(Ⅲ)当时,,则由,得,
即对恒成立………………………………………………………12分
从而有对恒成立,因为,
所以………………………………………………………14分
因为存在这样的t,所以,即……………………15分
又,所以适合题意的最小整数………………………………………………………16分
20.(本小题满分16分)
解:
(Ⅰ)因为(*),且,所以将代入(*)式,
得,故……1分将代入(*)式,得,故…………2分
(Ⅱ)在(*)式中,用代换,得,
即①,
再在(*)式中,用代换,得,
即②,①-②,得,即…………………6分
则由,得是等差数列………………………………………8分
(Ⅲ)因为,由(Ⅱ)知,
=③,
将③代入②,得,即…………………………10分
所以=,=,
则,所以=
………13分
所以……………………………15分
故………………………………16分
数学附加题部分
21.A.解:
连结OC,因BC=OB=OC=3,因此,由于,所以,
又,故…………………………………………………………………………5分
又因为,得,那么,连接BE,则,
于是……………………………………………………………………………………10分
B.解:
设A的一个特征值为,由题意知=0,则,
解得或………………………………………………………………………………………5分
当1=2时,由=2,得A属于特征值2的特征向量1=…………………8分
当2=3时,由=3,得A属于特征值3的特征向量2=…………………10分
C.解:
直线的直角坐标方程为……3分曲线是圆,圆心为(2,0),半径为……6分
因为圆心到直线的距离,所以直线与曲线C相切……………………………10分
D.解:
根据柯西不等式,得………………………8分
所以,即的最大值为14…………………………………………………10分
22.解:
(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么,
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是…………………………
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