高中数学 第二章 函数教学设计教学设计 北师大版必修1Word格式.docx
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①第1~3节是函数的概念和性质;
第4,5节是基本初等函数的性质,可以分为两部分.(答案不唯一)
②本章的知识结构图,如图1所示.(答案不唯一)
图1
思路1
例1求函数y=
的最大值和最小值.
分析:
把变量y看成常数,则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程,利用判别式的符号得关于y的不等式,解不等式得y的取值范围,从而得函数的最值.
解:
(判别式法)由y=
得yx2-3x+4y=0,
∵x∈R,∴关于x的方程yx2-3x+4y=0必有实数根.
当y=0时,则x=0,故y=0是一个函数值;
当y≠0时,则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,
则有Δ=(-3)2-4×
4y2≥0,
∴0<y2≤
.∴-
≤y<0或0<y≤
,
综上所得,-
≤y≤
.
∴函数y=
的最小值是-
,最大值是
点评:
形如函数y=
(d≠0),当函数的定义域是R(此时e2-4df<0)时,常用判别式法求最值,其步骤是:
①把y看成常数,将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0;
②分类讨论m=0是否符合题意;
③当m≠0时,关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R,则此一元二次方程必有实数根,得n2-4mk≥0即关于y的不等式,解不等式组
此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域,从而得函数的最大值和最小值.
例2函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=
在区间(1,+∞)上一定( ).
A.有最小值B.有最大值
C.是减函数D.是增函数
解析:
函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a,由于函数f(x)在开区间(-∞,1)上有最小值,所以直线x=a位于区间(-∞,1)内,即a<1.g(x)=
=x+
-2,下面用定义法判断函数g(x)在区间(1,+∞)上的单调性.
设1<x1<x2,则
g(x1)-g(x2)
=
-
=(x1-x2)+
=(x1-x2)
∵1<x1<x2,
∴x1-x2<0,x1x2>1>0.
又∵a<1,∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.
∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)<g(x2).
∴函数g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,函数g(x)在区间(1,+∞)上没有最值.故选D.
答案:
D
定义法判断函数f(x)的单调性步骤是:
①在所给区间上任取两个变量x1、x2;
②比较f(x1)与f(x2)的大小,通常利用作差比较它们的大小,先作差,后将差变形,变形的手段是通分、分解因式,变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等;
③由②中差的符号确定函数的单调性.注意:
函数f(x)在开区间D上是单调函数,则f(x)在开区间D上没有最大值,也没有最小值.
例3求函数f(x)=
的单调区间.
函数f(x)是复合函数,利用口诀“同增异减”来求单调区间.
函数的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞).
设y=
,u=x2-1,
当x≥0时,u=x2-1是增函数,y=
也是增函数,
又∵函数的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞),
∴函数f(x)=
在[1,+∞)上是增函数.
当x≤0时,u=x2-1是减函数,y=
在(-∞,-1]上是减函数.
即函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,-1].
复合函数是指由若干个函数复合而成的函数,它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系,其单调性的规律为:
“同增异减”,即复合函数y=f[g(x)],如果y=f(u),u=g(x)有相同的单调性时,函数y=f[g(x)]为增函数,如果具有相异(即相反)的单调性,则函数y=f这[g(x)]为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是:
①求复合函数的定义域;
②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并分别判断其单调性;
③依据复合函数的单调性规律口诀:
“同增异减”,判断出复合函数的单调性或写出其单调区间.
注意:
本题如果忽视函数的定义域,会错误地得到单调递增区间是[0,+∞),单调递减区间是(-∞,0].其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则.
思路2
例1某商场以100元/件的价格购进一批衬衣,以高于进价的价格出售,销售有淡季与旺季之分,通过市场调查发现:
①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系:
r(x)=kx+b1;
在销售淡季近似地符合函数关系:
r(x)=kx+b2,其中k<0,b1>0,b2>0且k、b1、b2为常数;
②在销售旺季,商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润;
③若称①中r(x)=0时的标价x为衬衣的“临界价格”,则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍.
请根据上述信息,完成下面问题:
(1)填写表格中空格的内容:
(2)在销售淡季,该商场要获得最大销售利润,衬衣标价应定为多少元才合适?
(1)销售总利润y=销售量r(x)×
每件利润,每件利润=标价-进价;
(2)转化为求二次函数y=f(x)的最大值,由条件②③求出b2与k的关系,应用二次函数的知识求解.
(1)在销售旺季,y=(kx+b1)(x-100)=kx2-(100k-b1)x-100b1;
在销售淡季,y=(kx+b2)(x-100)=kx2-(100k-b2)x-100b2,
故表格为:
如下表所示.
(2)∵k<0,b1>0,b2>0,
∴-
>0,-
>0.
∴50-
>0,50-
则在销售旺季,y=kx2-(100k-b1)x-100b1,∴当x=
=50-
时,利润y取最大值;
在销售淡季,y=kx2-(100k-b2)x-100b2,∴当x=
时,利润y取最大值.
由②知,在销售旺季,商场以140元/件价格出售时,能获得最大利润.
因此在销售旺季,当标价x=50-
=140时,利润y取最大值.∴b1=180k.
∴此时销售量为r(x)=kx-180k.令kx-180k=0,得x=180,
即在销售旺季,衬衣的“临界价格”为180元/件.
∴由③知,在销售淡季,衬衣的“临界价格”为180×
=120元/件.
可见在销售淡季,当标价x=120元/件时,销售量为r(x)=kx+b2=0.
∴120k+b2=0.
∴
=-120.
∴在销售淡季,当标价x=50-
=50+60=110元/件时,利润y取得最大值.
即在销售淡季,商场要获得最大利润,应将衬衣的标价定为110元/件合适.
在应用问题中,需解决利润最大、成本最少、费用最少等问题时,常常通过建立数学模型,转化为求函数最值的问题.其步骤是:
①阅读理解,审清题意.读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;
②引进数学符号,建立数学模型.如果条件中没有设未知数,那么要设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识及其他相关知识建立关系式,在此基础上将实际问题转化为求函数最值问题,即所谓建立数学模型;
③利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果;
④将所得结果再转译成具体问题的答案.
例2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值.
思路1:
画出函数的图像,利用函数最小值的几何意义,写出函数的最小值;
思路2:
利用绝对值的几何意义,转化为数轴上的几何问题:
数轴上到±
2两点的距离和的最小值.
方法1(图像法):
y=|x+2|-|x-2|=
其图像如图2所示.
图2
由图像得,函数的最小值是-4,最大值是4.
方法2(数形结合):
函数的解析式y=|x+2|-|x-2|的几何意义是:
y是数轴上任意一点P到±
2的对应点A、B的距离的差,即y=|PA|-|PB|,如图3所示,
图3
观察数轴可得-|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB|,
即函数y=|x+2|-|x-2|有最小值-4,最大值4.
求函数最值的方法:
图像法:
如果能够画出函数的图像,那么可以依据函数最值的几何意义,借助图像写出最值.其步骤是:
①画函数的图像;
②观察函数的图像,找出图像的最高点和最低点,并确定它们的纵坐标;
③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值.
数形结合:
如果函数的解析式含有绝对值或根号,那么能将函数的解析式赋予几何意义,结合图形利用其几何意义求最值.其步骤是:
①对函数的解析式赋予几何意义;
②将函数的最值转化为几何问题;
③应用几何知识求最值.
例3定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:
对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f
(1)求证:
函数f(x)是奇函数;
(2)若当x∈(-1,0)时,有f(x)>0,求证:
f(x)在(-1,1)上是减函数.
(1)定义法证明,利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;
(2)定义法证明,其中判定
的范围是关键.
证明:
(1)函数f(x)定义域是(-1,1),
由f(x)+f(y)=f
,令x=y=0,得f(0)+f(0)=f
∴f(0)=0.
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f
=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减,令0<x1<x2<1,则
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f
=f
∵0<x1<x2<1,
∴x2-x1>0,1-x1x2>0.
又(x2-x1)-(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)<0,
∴0<x2-x1<1-x1x2.
∴-1<-
<0,由题意知f
>0,
∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(0,1)上为减函数.
又f(x)为奇函数,
∴f(x)在(-1,1)上也是减函数.
对于抽象函数的单调性和奇偶性问题,必用单调性和奇偶性的定义来解决,即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法;
判断抽象函数的奇偶性与单调性时,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性.
1.已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x.
(1)求f(x);
(2)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值.
(1)由于已知f(x)是二次函数,用待定系数法求f(
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