超几何分布一词来源的解释为什么叫超几何分布.docx
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超几何分布一词来源的解释为什么叫超几何分布
“超几何分布”一词来源的解释——为什么叫超几何分布?
“超几何分布”一词来源的解释——为什么叫超几何分布?
“超几何分布”一词来源于超几何数列,就像“几何分布”来源于几何数列。
几何数列又叫等比数列,“几何分布”、'几何数列"名称的来源前面的文章已经解释过,请看一些带"几何"的数学名词来源解释
几何分布(Geometric distribution)是离散型机率分布。
其中一种定义为:
在第n次伯努利试验,才得到第一次成功的机率。
详细的说,是:
n次伯努利试验,前n-1次皆失败,第n次才成功的机率。
这种分布像二项分布,但它不是发生几次的概率,而是只发生在最后一次的概率。
比如射击前9次没中,最后一次射中,这种情况发生的概率。
几何分布在高中已经不学,我也是听我的老师给我解释的。
这里的概率公式像等比数列的通项公式,变量取不同值时对应的概率值形成了一个等比数列。
Hypergeometric series
In mathematics, the term hypergeometric series, first used by John Wallis (1655), means a series such that the ratio of two successive terms is a simple function of the index.
超几何级数
在数学上,超几何级数一词在1655年第一次被John Wallis使用,该级数的每一项与其前一项之比为关于下脚标(也可译为指数)的简单函数。
Hypergeometric series
A hypergeometric series is a series for which c0=1 and the ratio of consecutive terms is a rational function of the summation index.
超几何级数
超几何级数是首项为1的级数,并且该级数每一项与其前一项之比为关于下脚标(也可译为指数)的有理函数。
上面两个定义,前者来源于英文维基百科,后者来源于Wolfram MathWorld,定义区别主要是首项是否为1。
还有级数是数列各项之和,所以级数里的项与数列里的项是一个意思,这个定义可以是超几何数列的定义。
如果改成“每一项与其前一项之比为一个常数”,那这个定义就是等比数列,也就是几何数列的定义了。
超几何数列是几何数列的推广,让我们举例来看它们的不同。
一个首项为1公比为5的几何数列,写为1,5,25,125,625……而一个首项为1,公比为5+n的超几何数列,n为项数,也就是第几项,前面提到的下脚标,那么会写成1,6,42,336,3024……看看下面的递推公式就更清楚了。
由于比值不再是一个常数,而与项数n有关,第二项变成了1*(5+1),第三项成了1*(5+1)*(5+2),依次类推。
并且通项公式也会不同,可以自己求一求。
我们同样也可以由通项公式求公比和首项,你可以试一试,令n为n+1、n相比得到公比,令n为1得到首项。
我们可以注意到通项公式里有关于变量n的阶乘形式的,这样的数列就会是一个超几何数列。
有了这些例子,我想超几何分布就不是什么难题了,如下。
令m为0、m+1、m求得首项和公比。
因为公比是一个关于下脚标m的函数,依据超几何数列的定义,我们可以知道该数列为超几何数列。
说明
1.这里的C(n,r)形式表示从n个中取r个的组合数,与课本略有不同。
2.如果按维基百科的定义首项可以不为1,如果按Wolfram MathWorld的定义,可将A0的值看作常数,首项仍为1,用通项公式求得某项值后要与常数相乘,也就是说Wolfram MathWorld的定义认为在超几何分布中由变量m不同取值得到的概率值形成的数列是一种超几何数列的变形。
3.这里的字母含义按照人教版高中数学选修2-3B版,07年第二版的规定。
N表示所有物品总数,M表示某类物品数量,n表示从所有物品中抽取数量,m表示被抽取的物品中含这类物品的数量。
4. 按Wolfram MathWorld的定义,公比分母里必须有(n+1)项,所以我不知道例子里的递推公式是否该写成这样
感想
我只是一个高中学生,问了老师,查了网上,问了网上的学生、老师,都没有结果。
看起来大学生学习他们的高斯超几何方程,高中生学习他们的超几何分布,没有哪不好,没人注意这种联系。
这个词语的解释并不需要大学的物理或数学知识,只是看你愿不愿意去做,你不去做,即使你掌握了大学知识,也不会知道两者的联系。
限制人的不只是学到的技能、手中的工具,还有人的态度。
附上Wolfram MathWorld超几何分布条目中介绍的其与超几何函数的联系,作为判断名词来源的依据。
这篇文章我还询问了XX用户dxydeng12、path2math,我是通过XX知道和搜索引擎认识他们的,感谢他们的解答,附path2math对我问题的回复及相关链接作为参考来源。
超几何数列,Hypergeometric series,定义如下:
数列 t_0, t_1, ... , t_k, t_{k+1}, ... 如果满足条件 t_0=1, 且对于任意的k, 有
t_{k+1} / t_k = P(k)/Q(k) 其中 P(k) 与 Q(k) 是给定的关于 k 的多项式
就称其为超几何数列。
这是几何数列的一种推广。
在几何数列的情况下, t_{k+1} / t_k 是一个常数。
基本上其它带“超几何”字眼的名词都是由此衍生而来。
index 是下标的意思。
比如数列 t_0, t_1, ... , t_k, t_{k+1}, ... 这里用 k 表示下标。
所以" a simple function of the index" 下标的一个简单的函数。
" a rational function of the summation index" 级数的下标的有理函数。
" t_0=1"意思确实是数列首项为1,然后后一项与前一项的比是两个多项式的比,这两个多项式是k的多项式。
你理解地很对。
一个例子比如t_{k+1} / t_k = (k+1/2)/k,这时超几何数列为
1, (3/2)/1!
(3/2)*(5/2)/2!
(3/2)*(5/2)*(7/2)/3!
...
这里 n!
表示 n 的阶乘。
pFq [a_1,...,a_p; b_1,...,b_q; x] 表示级数 c_0+c_1*x+c_2*x^2+c_3*x^3+...,其系数 c_0, c_1, c_2, c_3, ... 是超几何数列,满足
c_{k+1}/c_k=(k+a_1)*(k+a_2)*...*(k+a_p)/[(k+b_1)*(k+b_2)*...*(k+b_q)*(k+1)]
这个式子右边的分母中多出来一个莫名其妙的(k+1),这完全是历史原因。
你的问题都很好。
不过你知道的太少了,不必着急,将来到某个阶段自然就会明白。
我简单的回答一下。
1.a、b是多项式被因式分解后的常数项吗?
是的。
2.所有的多项式都能被分解因式吗?
能。
任意多项式P(x)都可写成(x+c_1)(x+c_2)...(x+c_n)的形式。
一般的来说这里的c_1,c_2,...,c_n是复数。
3.分解后的括号个数是有限的吧,省略号只是省略了中间部分?
是的。
4.分母的(k+1)这样写不就不正确了吗,不是所有关于k的多项式都能拆成有(k+1)的项啊,你知道什么历史原因吗?
只要在分子里也乘上一个(k+1)的项就可以抵消了。
这中间的历史原因,因为当初高斯就是这么写的。
高斯那个时候为什么会这么写,我想等你学了泰勒展开之类的“高等”数学之后也能大体领会。
5.如果“t_{k+1} / t_k = 1/2k”只有分母或分子有k也是超几何分布吧。
是的。
6.超几何函数的解析表达式为什么不是f(X) = 的形式而是pFq,中括号里不只有X还有a、b,这是什么表达方法?
这个没什么理由。
记号其实怎么都可以。
各个国家,各个地方,各个领域,每个人都有细微的差别,只要互相明白。
超几何级数、超几何分布、超几何函数在Wolfram MathWorld、Wikipedia中的条目
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