普通高等学校招生全国统一考试数学试题文北京卷参考解析Word文档格式.docx

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【题型】选择题

【难度】一般

（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是

【答案】B

【解析】，因为对应的点在第二象限，所以，解得：

，故选B.

（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为

（A）2（B）

（4）若满足则的最大值为

（A）1（B）3

（C）5（D）9

【答案】D

【解析】如图，画出可行域，

表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.

（5）已知函数，则

（A）是偶函数，且在R上是增函数

（B）是奇函数，且在R上是增函数

（C）是偶函数，且在R上是减函数

（D）是奇函数，且在R上是增函数

【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.

（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A）60（B）30

（C）20（D）10

【解析】该几何体是三棱锥，如图：

图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是，故选D.

（7）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·

n<

0”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么，反过来，若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.

（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是

（参考数据：

lg3≈0.48）

（A）1033（B）1053

（C）1073（D）1093

【解析】设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．

【答案】1/3

【解析】

【题型】填空题

（10）若双曲线的离心率为，则实数m=__________．

【答案】2

（11）已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．

【答案】【1/2,1】

【解析】，所以当时，取最大值1；

当时，取最小值；

因此取值范围为

（12）已知点P在圆上，点A的坐标为（-2,0），O为原点，则的最大值为_________．

【答案】6

【解析】所以最大值是6.

（13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>

b>

c，则a+b>

c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________．

【答案】-1，-2，-3

（14）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；

（ⅱ）女学生人数多于教师人数；

（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．

②该小组人数的最小值为__________．

【答案】6,12

【解析】设男生数，女生数，教师数为，则

第一小问：

第二小问：

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求和：

．

【答案】

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

（I）设公差为，,所以，所以.

（Ⅱ）设的公比为，.=，所以

所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以.

【题型】解答题

（16）（本小题13分）

已知函数.

（I）f（x）的最小正周期；

（II）求证：

当时，．

（Ⅱ）详见解析.

（17）（本小题13分）

某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：

[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

（Ⅰ）0.4；

（Ⅱ）5人；

（Ⅲ）.

（18）（本小题14分）

如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

（Ⅰ）求证：

PA⊥BD；

（Ⅱ）求证：

平面BDE⊥平面PAC；

（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．

【答案】详见解析

【解析】证明：

（Ⅰ），

平面，平面，且，

平面，平面,；

（Ⅱ），是的中点，

由（Ⅰ）知平面，平面，

平面平面，

平面,，

平面，

平面,

平面平面,

（Ⅲ）平面，

又平面平面,

是中点，

为的中点，

是的中点，

（19）（本小题14分）

已知椭圆C的两个顶点分别为A（−2,0），B（2,0），焦点在x轴上，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：

△BDE与△BDN的面积之比为4:

5．

（Ⅰ）焦点在轴上，，∴

∴

∴；

（2）设，

直线的方程是，

，，

直线的方程是，直线的方程是，

直线与直线联立

，整理为：

，即

即，解得，

代入求得

又

和面积的比为4:

5.

（20）（本小题13分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

（Ⅰ）；

（Ⅱ）最大值1；

最小值.