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(2)函数图象是位于第二、四象限的双曲线。
(3)函数图象是开口向上的抛物线。
知识模块二:
二次函数的图象及其性质
1.二次函数基本形式:
的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;
时,随的增大而减小;
时,有最小值.
向下
时,有最大值.
2.的性质:
上加下减。
3.的性质:
左加右减。
X=h
4.的性质:
二次函数图象的过点问题与交点问题
中考方法点拨:
二次函数图象的过点问题与交点问题实际上就是方程问题、代入求值问题
的综合,只要紧紧抓住函数图象经过的点或交点的横坐标与纵坐标都满足
函数解析式,然后代入解析式可得方程(组),从而求解。
例2:
已知抛物线和直线都经过点(,)。
(1)求,的值。
(2)是否存在另一个交点?
若存在,请求出。
1.(2008,长春)已知,如图,直线经过和两点,它与抛物线在第一象限内相交于点P,又知的面积为4,求的值。
第1题图第2题图
2.(2008,辽宁大连)如图10,直线和抛物线都经过点A(1,0),B(3,2).
(1)求m的值和抛物线的解析式;
(2)求不等式的解集(直接写出答案)。
课堂演练二:
1.二次函数的图象经过两点A(,),B(,),则。
2.若抛物线与轴的交点坐标是(,0)则
。
3.已知函数的图象与直线交于点(1,),
则求。
4.如图,是二次函数y=ax2-x+a2-1的图象,则a=____________.第4题图
二次函数图象的单调性问题:
判断二次函数的单调性要紧紧抓住抛物线的开口方向和对称轴,
对称轴是二次函数单调性的分界点,即:
1.当时,抛物线开口向上:
在范围内,随的增大而减小;
在范围内,随的增大而增大;
当时,有最小值。
2.当时,抛物线开口向下:
在范围内,随的增大而增大;
当时,有最大值。
例3:
(2011,浙江舟山)如图,已知二次函数的图象经过点(-1,0),
(1,-2),当随的增大而增大时,的取值范围是 。
-1
变式练习第2题图
例4:
(2008,山东东营)若A(),B(),C()为二次函数的图象上的三点,则的大小关系是 ()
A.B.C. D.
1.(2011,广安)若二次函数.当≤l时,随的增大而减小,则的取值范围是()
A.=lB.>
lC.≥lD.≤l
2.(2011,浙江温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如第9题图所示。
关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是()
A.有最小值0,有最大值3B.有最小值-1,有最大值0
C.有最小值-1,有最大值3D.有最小值-1,无最大值
课堂演练三:
1.当时,二次函数的最小值是,最大值是。
2.(2011,广东广州)下列函数中,当x>
0时y值随x值增大而减小的是().
A.y=x2B.y=x-1C.y=xD.y=
3.(2011,山东聊城)下列四个函数图象中,当x<
0时,函数值y随自变量x的增大而减小的是()
4.若A(-,y1),B(-1,y2),C(,y3)为二次函数y=-x2-4x+5图象上的三
点,则y1、y2、y3的大小关系是。
5.已知,当时,它的图象是开口向下的抛物线,这时,当
时,随的增大而增大。
二次函数图象的对称性问题:
例5:
(平面直角坐标系中点的对称问题)平面直角坐标系中的点P(3,-5),关于x轴对称的点的坐标为;
关于y轴对称的点的坐标为;
关于原点对称的点的坐标为。
在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴对称的点的坐标为;
关于y轴对称
的点的坐标为;
例6:
(2011,山东济宁)已知二次函数中,其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示:
x
……
1
2
3
4
y
点A(,)、B(,)在函数的图象上,则当时,与的大小关系正确的是()
A.B.C.D.
1。
已知抛物线的图象如图7所示,该抛物线与轴交于A、B两点,B
点坐标为(,0),则A点坐标为 。
OAB
图7
2.(2011,嘉兴)如图8,已知二次函数的图象经过点(-1,0),(1,-2),该图象与x轴的另一个交点为C,则AC长为 。
C
课堂演练四第4题图
课堂演练四:
1.已知点M与点N关于轴对称,则x+y=。
2.(-3,4)关于x轴对称的点的坐标为________,关于y轴对称的点的坐标为________,
关于原点对称的坐标为__________。
3.(2011,山东枣庄)抛物线上部分点的横坐标,纵坐标的对应值如下表:
…
-2
-1
6
从上表可知,下列说法中正确的是 。
(填写序号)
①抛物线与轴的一个交点为(3,0);
②函数的最大值为6;
③抛物线的对称轴是;
④在对称轴左侧,随增大而增大.
4.(2010,日照)如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是.
5.(2011,山东泰安)若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表:
X
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-27
-13
5
则当x=1时,y的值为
图9
A。
5B。
-3C。
-13D。
-27
6.(2009,襄樊)抛物线的图象如图9所示,
则一元二次方程的两个根为。
二次函数的图象与系数、、之间的关系问题
(1)由抛物线开口方向确定的正负;
(2)由对称轴(或)
确定的正负;
(3)抛物线与轴交点纵坐标确定的正负;
(4)由对称轴(或)确定的正负;
(5)令观察图象可得的正负;
同理可令,可得的正负;
(6)取可得的正负;
取可得的正负。
注意:
以上6条性质可以相互推导,也可以用推导出来的结论去推导另外的正确结论。
例7:
(2009,湖北黄石)已知二次函数的图象如图所示,有以下结论:
①;
②;
③;
④;
⑤其中所有正确结论的序号是()
A.①②B.①③④
C.①②③⑤D.①②③④⑤
课堂演练五:
(2011,重庆)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是()
A.a>
0B.b<0C.c<0D.a+b+c>
0
2。
(2010,湖北孝感)如图,二次函数的图象与轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:
①ac<0;
②a+b=0;
③4ac-b2=4a;
④a+b+c<0。
其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4
第2题图第3题图第4题图
3。
(2011,甘肃兰州)如图所示的二次函数的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:
(1);
(2)c>
1;
(3)2a-b<
0;
(4)a+b+c<
0。
你认为其中错误的有()
A.2个B.3个C.4个D.1个
4。
(2011,山东日照)如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出
下列命题:
①a+b+c=0;
②b>2a;
③ax2+bx+c=0的两根分别为和1;
④a-2b+c>0。
其中正确的命题是。
(只要求填写正确命题的序号)
5。
(2009,广西南宁)已知二次函数()的图象如图4所示,有下列四个结论:
④,其中正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
图5
6。
(2008甘肃兰州)已知二次函数()的图象如图5所示,有下列
四个结论:
①;
②;
③;
④。
其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
7。
(2007,天津)已知二次函数的
图象如右图所示,有下列5个结论:
①;
②;
③;
④;
⑤,(的实数)其中正确的
结论有()
2个B。
3个C。
4个D。
5个
8。
(2007,南充)如右图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,
图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出四个结论:
①b2>4ac;
②2a+b=0;
③a-b+c=0;
④5a<b。
其中正确结论是( )。
(A)②④(B)①④(C)②③(D)①③
二次函数的平移问题
抛物线的平移只改变它的位置,不改变其形状和开口方向,即的值不变。
解决这类问题的关键是利用好平移特征,在图形的平移中,一个点的位置
变化和一个图形的位置变化是一致的,只须抓住抛物线的顶点需要进行怎
样的平移即可。
解答思路:
先求出抛物线的顶点坐标,然后将顶点坐标进行平移改变,再利用顶点式求出
平移后的抛物线解析式。
(平移前先把二次函数的解析式化成顶点式)
知识、题型
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- 关 键 词:
- 二次 函数 基本 问题