1990年全国高考数学试题及答案.docx
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1990年全国高考数学试题及答案
1990年全国高考数学试题
(理工农医类)
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算.
(1)A
【】
[Key]
(2)B
(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于
【】
[Key](3)D
(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是
(A)1(B)2(C)3(D)4【】
[Key](4)C
(5)
【】
[Key](5)C
(A){-2,4}(B){-2,0,4}
(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}【】
[Key](6)B
(7)如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称,那么
(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】
[Key](7)A
(A)圆(B)椭圆
(C)双曲线的一支(D)抛物线【】
[Key](8)D
(B){(2,3)}
(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】
[Key](9)B
【】
[Key](10)D
(11)如图,正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于
(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°【】
[Key](11)C
(12)已知h>0.设命题甲为:
两个实数a,b满足│a-b│<2h;命题乙为:
两个实数a,b满足│a-1│ (A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 (B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】 [Key](12)B (13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同的排法共有 (A)24种(B)60种(C)90种(D)120种【】 [Key](13)B (14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 (A)70个(B)64个(C)58个(D)52个 【】 [Key](14)C (15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C'与C关于原点对称,那么C'所对应的函数是 (A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2) (C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)【】 [Key](15)D 二、填空题: 把答案填在题中横线上. (17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于. (18)已知{an}是公差不为零的等差数列,如果Sn是{an}的前n项的和,那 (19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是. (20)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC 的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1: V2=. [Key]二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算. 三、解答题.7 (21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数. [Key]三、解答题. (21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力. 解法一: ① 由②式得d=12-2a.③ 整理得a2-13a+36=0 解得a1=4,a2=9. 代入③式得d1=4,d2=-6. 从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解法二: 设四个数依次为x,y,12-y,16-x① 由①式得x=3y-12.③ 将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2, 整理得y2-13y+36=0. 解得y1=4,y2=9. 代入③式得x1=0,x2=15. 从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. [Key](22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力. 解法一: 由已知得 解法二: 如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是(cosα, sinα),点B的坐标是(cosβ,sinβ),则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结 连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是(1,0),再连结OA,OB,则有 解法三: 由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ). 将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β). 于是α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z), 或α-=2kπ+(-β)(k∈Z). 若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α=β+(2k+1)π(k∈Z). 于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0. 由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z), 即α+β=2+2kπ(k∈Z). 所以 (23)如图,在三棱锥SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数. [Key](23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力. 解法一: 由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE. 又已知SC⊥DE,BE∩DE=E, ∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD. 又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD. 而SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC. ∵DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC. ∴∠EDC是所求的二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设SA=a, 又因为AB⊥BC, ∴∠ACS=30°. 又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°. 解法二: 由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE. 又已知SC⊥DE,BE∩DE=E∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD. 由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE. ∵DE面BDE,DC面BDC, ∴∠EDC是所求的二面角的平面角. 以下同解法一. (24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│=a. [Key](24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力. 解法一: 设z=x+yi,代入原方程得 于是原方程等价于方程组 由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论. 情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a.③ (Ⅰ)令x>0,方程③变为x2+2x=a.④ . 由此可知: 当a=0时,方程④无正根; (Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤ . 由此可知: 当a=0时,方程⑤无负根; 当a>0时,方程⑤有负根 x=1-. (Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a. 由此可知: 当a=0时,方程⑥有零解x=0; 当a>0时,方程⑥无零解. 所以,原方程的实数解是: 当a=0时,z=0; . 情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a.⑦ (Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧ 由此可知: 当a>1时,方程⑧无实根. 当a≤1时解方程⑧得 y=1±, 从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2; 当0 (Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨ 由此可知: 当a>1时,方程⑨无实根. 当a≤1时解方程⑨得y=-1±, 从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2; 当0 所以,原方程的纯虚数解是: 当a=0时,z=±2i; 当0 而当a>1时,原方程无纯虚数解. 解法二: 设z=x+yi代入原方程得 于是原方程等价于方程组 由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论. 情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. 即|x|2+2│x│=a.③ 解方程③得 所以,原方程的实数解是 . 情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a. 即-│y│2+2│y│=a.④ 当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2, 即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i. 当0
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