数形结合思想在高中数学解题中的应用.doc
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第5讲数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合
1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。
所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2.实现数形结合,常与以下内容有关:
①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。
4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。
二、例题分析
例1.
分析:
,
例2.
解:
法一、常规解法:
法二、数形结合解法:
例3.
A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个
分析:
出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选(B)。
例4.
分析:
例5.
分析:
构造直线的截距的方法来求之。
截距。
例6.
分析:
以3为半径的圆在x轴上方的部分,(如图),而N则表示一条直线,其斜率k=1,纵截
例7.
MF1的中点,O表示原点,则|ON|=()
分析:
①设椭圆另一焦点为F2,(如图),
又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点,
∴ON是△MF1F2的中位线,
②若联想到第二定义,可以确定点M的坐标,进而求MF1中点的坐标,最后利用两点间的距离公式求出|ON|,但这样就增加了计算量,方法较之①显得有些复杂。
例8.
分析:
例9.
解法一(代数法):
,
解法二(几何法):
例10.
分析:
转化出一元二次函数求最值;倘若对式子平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显得比较困难,考虑到式中有两个根号,故可采用两步换元。
解:
第一象限的部分(包括端点)有公共点,(如图)
相切于第一象限时,u取最大值
三、总结提炼
数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧,特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效,复习中要以熟练技能、方法为目标,加强这方面的训练,以提高解题能力和速度。
四、强化训练
见优化设计。
【模拟试题】
一、选择题:
1.方程的实根的个数为()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.函数的图象恰有两个公共点,则实数a的取值范围是()
A. B.
C. D.
3.设命题甲:
,命题乙:
,则甲是乙成立的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.不充分也不必要条件
4.适合且的复数z的个数为()
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
5.若不等式的解集为则a的值为()
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知复数的最大值为()
A. B. C. D.
7.若时,不等式恒成立,则a的取值范围为()
A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.[1,2]
8.定义在R上的函数上为增函数,且函数的图象的对称轴为,则()
A. B.
C. D.
二、填空题:
9.若复数z满足,则的最大值为___________。
10.若对任意实数t,都有,则、由小到大依次为___________。
11.若关于x的方程有四个不相等的实根,则实数m的取值范围为___________。
12.函数的最小值为___________。
13.若直线与曲线有两个不同的交点,则实数m的取值范围是___________。
三、解答题:
14.若方程上有唯一解,
求m的取值范围。
15.若不等式的解集为A,且,求a的取值范围。
16.设,试求下述方程有解时k的取值范围。
【试题答案】
一、选择题
1.C
提示:
画出在同一坐标系中的图象,即可。
2.D
提示:
画出的图象
情形1:
情形2:
3.A
4.C
提示:
|Z-1|=1表示以(1,0)为圆心,以1为半径的圆,显然点Z对应的复数满足条件,另外,点O对应的复数O,因其辐角是多值,它也满足,故满足条件的z有两个。
5.B
提示:
画出的图象,依题意,从而。
6.C
提示:
由可知,z2对应的点在以(0,0)为圆心,以2为半径的圆上,
而
表示复数对应的点的距离,
结合图形,易知,此距离的最大值为:
7.C
提示:
令,
若a>1,两函数图象如下图所示,显然当时,
要使,只需使,综上可知
当时,不等式对恒成立。
若,两函数图象如下图所示,显然当时,不等式恒不成立。
可见应选C
8.A
提示:
f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的,又知f(x+2)的图象关于直线x=0(即y轴)对称,故可推知,f(x)的图象关于直线x=2对称,由f(x)在()上为增函数,可知,f(x)在上为减函数,依此易比较函数值的大小。
二、填空题:
9.
提示:
|Z|=2表示以原点为原心,以2为半径的圆,即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆O上运动,(如下图),而|z+1-i|=|z-(-1+i)|表示复数Z与-1+i对应的两点的距离。
由图形,易知,该距离的最大值为。
10.
提示:
由知,f(x)的图象关于直线x=2对称,又为二次函数,其图象是开口向上的抛物线,由f(x)的图象,易知的大小。
11.
提示:
设,画出两函数图象示意图,要使方程有四个不相等实根,只需使
12.最小值为
提示:
对,联想到两点的距离公式,它表示点(x,1)到(1,0)的距离,表示点(x,1)到点(3,3)的距离,于是表示动点(x,1)到两个定点(1,0)、(3,3)的距离之和,结合图形,易得。
13.
提示:
y=x-m表示倾角为45°,纵截距为-m的直线方程,而则表示以(0,0)为圆心,以1为半径的圆在x轴上方的部分(包括圆与x轴的交点),如下图所示,显然,欲使直线与半圆有两个不同交点,只需直线的纵截距,即。
三、解答题:
14.解:
原方程等价于
令,在同一坐标系内,画出它们的图象,
其中注意,当且仅当两函数的图象在[0,3)上有唯一公共点时,原方程有唯一解,由下图可见,当m=1,或时,原方程有唯一解,因此m的取值范围为[-3,0]{1}。
注:
一般地,研究方程时,需先将其作等价变形,使之简化,再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。
15.解:
令表示以(2,0)为圆心,以2为半径的圆在x轴的上方的部分(包括圆与x轴的交点),如下图所示,表示过原点的直线系,不等式的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。
由于不等式解集
因此,只需要
∴a的取值范围为(2,+)。
16.解:
将原方程化为:
,
∴
令,它表示倾角为45°的直线系,
令,它表示焦点在x轴上,顶点为(-a,0)(a,0)的等轴双曲线在x轴上方的部分,
∵原方程有解,
∴两个函数的图象有交点,由下图,知
∴
∴k的取值范围为
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