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3、前n项和公式
由,
相加得,还可表示为,是n的二次函数。
特别的,由可得。
3、等比数列
1、定义当,且时,总有,q叫公比。
2、通项公式:
在等比数列中,若,则.
3、前n项和公式:
由,两式相减,
当时,;
当时,。
关于此公式可以从以下几方面认识:
①不能忽视成立的条件:
。
特别是公比用字母表示时,要分类讨论。
②公式推导过程中,所使用的“错位相消法”,可以用在相减后所得式子能够求和的情形。
如,公差为d的等差数列,,则,
相减得,
当时,,
当时,;
3)从函数角度看是n的函数,此时q和是常数。
4、等差与等比数列概念及性质对照表
名称
等差数列
等比数列
定义
,
通项
公式
变式:
性质
中项
单调性
时增
时常数列
时减
或增;
或时减;
时常数列,时摆动数列
前
n
项
和
(推导方法:
倒加法)
错位相消法)
结论1、
等差,公差d,则等差公差kd;
子数列等差,公差md;
若等差,公差,则等差,公差。
等比,公比q,则等比,公比q;
等比,公比;
等比,公比。
子数列等比,公比;
若等差,公差d,则等比,公比为。
2、
等差,公差d则等差,公差2d;
等差,公差3d.
等差,公差,且即连续相同个数的和成等差数列。
等比,公比q,则等比,公比;
等比,公比;
等比,公比q;
等比,公比,(当k为偶数时,)。
3、
等差.公差
等比,公比
4、
等差共2n项,则
等差,共2n+1项,则
=
5、
等差
等比,公比q
联系1、
各项不为0常数列,即是等差,又是等比。
通项公式.
等差,公差d,,则,即等比,公比.
等比,公比q,,即等差,公差.
等差,等比,则前n项和求法,利用错位相消法
6、
求和方法:
公式法,倒加法,错位相消法,裂项法,累加法,累积法,等价转化法等。
5、递推数列表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。
作为特殊的函数,数列可用递推式表示。
求递推数列通项公式常用方法:
公式法、归纳法、累加法、累乘法。
特别的,累加法是求形如递推数列的基本方法,其中数列可求前n项和,即;
累乘法是求形如递推数列通项公式的基本方法,其中数列可求前n项积,即.
第一节等差数列的概念、性质及前n项和
题根一等差数列{an}中,,求S20
[思路]等差数列前n项和公式:
1、由已知直接求a1,公差d.
2、利用性质
[解题]由,,得,
,。
[收获]灵活应用通项性质可使运算过程简化。
[请你试试1——1]
1、等差数列{an}满足,则有()
A、B、C、D、
2、等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求。
第1变求和方法——倒序相加法
[变题1]等差数列{an}共10项,,,求Sn.
[思路]已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想Sn公式推导方法。
[解题]已知,,
又,得,,
[收获]1、重视倒加法的应用,恰当运用通项性质:
,快捷准确;
3、求出后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。
[请你试试1——2]
1、等差数列{an}共2k+1项,所有奇数项和为,所有偶数项和为,求:
的值。
2、等差数列{an}前n项和为18,若,,求项数n.
3、求由1,2,3,4四个数字组成的无重复数字的所有三位数的和。
4、求和。
第2变已知前n项和及前m项和,如何求前n+m项和
[变题2]在等差数列{an}中,Sn=a,Sm=b,(m>
n),求Sn+m的值。
[思路]下标存在关系:
m+n=m+n,这与通项性质是否有关?
[解题]由Sn=a,Sm=Sn+an+1+an+2+……+am=b得an+1+an+2+……+am=b-a,
即,得
由(n+1)+m=1+(n+m),得an+1+am=a1+am+n
故
[请你试试1——3]
1、在等差数列{an}中,,,求。
2、在等差数列{an}中,,,求。
第3变已知已知前n项和及前2n项和,如何求前3n项和
[变题3]在等差数列{an}中,,,求
[思路]由寻找之间的关系。
[解题]设数列{an}公差为d,,,,,,
所以成等差数列,公差100d,于是,得。
[收获]1、在等差数列{an}中,成等差数列,即,,,……,成等差数列,且。
3、可推广为,,……,。
[请你试试1——4]
1、在等差数列{an}中,,,求
2、在等差数列{an}中,,,求
3、在等差数列{an}中,,,求及。
4、数列{an}中,,,求。
5、等差数列{an}共有3k项,前2k项和,后2k项和,求中间k项和。
第4变迁移变换重视Sx=Ax2+Bx的应用
[变题4]在等差数列{an}中,Sn=m,,Sm=n,(m>
[思路]等差数列前n项和公式是关于n的二次函数,若所求问题与无关时,常设为S=An2+Bn形式。
[解题]由已知可设Sn=An2+Bn=mSm=Am2+Bm=n,
两式相减,得A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n,又m>
n,所以,
得。
[收获]“整体代换”设而不求,可以使解题过程优化。
[请你试试1——5]
1、在等差数列{an}中,,,求
2、在等差数列{an}中,,,求
3、在等差数列{an}中,,,求当n为何值时,有最大值
第5变归纳总结,发展提高
[题目]在等差数列{an}中,Sn=a,Sm=b,(m>
(仍以变题2为例)
除上面利用通项性质求法外,还有多种方法。
现列举例如下:
1、基本量求解:
由,
相减得,
代入得。
2、利用等差数列前x项和公式Sx=Ax2+Bx求解
由Sx=Ax2+Bx,得Sn=An2+Bn,Sm=Am2+Bm
两式相减,得A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b
即故
3、利用关系式求解
由知与n成线性关系,从而点集{(n,)}中的点共线,即(n,),
(m,),(m+n,)共线,则有,即,
化简,得,即.
4、利用定比分点坐标公式求解
由A(n,),B(m,),P(m+n,)三点共线,将点P看作有向线段的定比分点,则,可得,
即.
[请你试试1——6]
若Sn是等差数列{an}的前n项和,S2=3,S6=4,则S12______.
第二节等比数列的概念、性质及前n项和
题根二等比数列{an},,求。
[思路]1、由已知条件联立,求,从而得
2、由等比数列性质,知成等比数列。
[解题1]由,两式相除,得,。
[解题2]由成等比,得。
[收获]1、灵活应用性质,是简便解题的基础;
2、等比数列中,序号成等差的项,成等比数列。
[请你试试2——1]
等比数列{an},,若,则_______。
第1变连续若干项之和构成的数列仍成等比数列
[变题2]等比数列{an},,求。
[思路]等比数列中,连续若干项的和成等比数列。
[解题]设,……,,
则是等比数列,,,即。
[收获]等比数列{an},时,,……成等比数列,但总有。
当k为偶数时,恒成立。
[请你试试2——2]
1、等比数列{an},时,,求。
2、等比数列{an},时,,求。
第2变成等差,则成等差
[变题3]等比数列{an}中,成等差,则成等差。
[思路]成等差,得,要证等差,只需证。
[解题]由成等差,得,
当q=1时,,由得,。
由,得,
整理得,,得,
两边同乘以,得,即成等差。
[收获]1、等比数列{an}中,成等差,则成等差。
2、等比数列{an}中,成等差,则(其中)成等差
3、等比数列{an}中,成等差,则(其中)成等差。
[请你试试2——3]
1、等比数列{an},,成等差,求的值。
2、等比数列{an},成等差,求证成等比。
第3变是等比,也是等比数列
[变题4]数列中,且,是等比数列,公比q(),求证()也是等比数列。
[思路],欲证为等比数列,只需证为常数。
[解题],,(),得,而,,,(),故从第二项起,构成等比数列,公比为q。
第4变等比数列在分期付款问题中应用
问题顾客购买一售价为5000元的商品时,采用分期付款方法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,到第12次付款后全部付清。
如果月利润为0.8%,每月利息按复利计算,那么每期应付款多少?
(精确到1元)
分析一:
设每期应付款x元,则
第1次付款后,还欠5000(1+0.8%)-x(元)
第2次付款后,还欠[5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元)
第3次付款后,还欠{5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x}(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元)
…………
最后一次付款后,款已全部还清,则5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x(1+0.8%)10-……-x(1+0.8%)-x=0,
移项5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x(1+0.8%)10+……+x(1+0.8%)+x,即
算得(元)
一般地,购买一件售价为a元的商品,采用分期付款时,要求在m个月内将款还至b元,月利润为p,分n(n是m的约数)次付款,那么每次付款数计算公式为.
分析二:
设每月还款x元,将商家的5000元折算成12个月后的钱要计算12个月的利息,而顾客第一次还的钱也应计算11个月的利息,第二次还的钱应计算10月的利息……,于是得方程
5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x(1+0.8%)10+……+x(1+0.8%)+x,解得(元)
分析三:
设每次还款x元,把还款折成现在的钱,可得
,解得(元)。
将上述方法应用到其他实际问题中,如木材砍伐,人口增长等。
[请你试试2——4]
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