人教B版文科数学总复习 知识点精讲与最新习题汇第六章 第3节Word文档格式.docx
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当q≠1时,Sn==.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则有ak·
al=am·
an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,
ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm.
(3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn.
[微点提醒]
1.若数列{an}为等比数列,则数列{c·
an}(c≠0),{|an|},{a},也是等比数列.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)等比数列公比q是一个常数,它可以是任意实数.( )
(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.( )
(3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.( )
(4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( )
解析
(1)在等比数列中,q≠0.
(2)若a=0,b=0,c=0满足b2=ac,但a,b,c不成等比数列.
(3)当a=1时,Sn=na.
(4)若a1=1,q=-1,则S4=0,S8-S4=0,S12-S8=0,不成等比数列.
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.(必修5P47A3
(1)改编)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于( )
A.-B.-2C.2D.
解析 由题意知q3==,即q=.
答案 D
3.(必修5P54A9改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.
解析 设该数列的公比为q,由题意知,
243=9×
q3,q3=27,∴q=3.
∴插入的两个数分别为9×
3=27,27×
3=81.
答案 27,81
4.(2019·
鞍山模拟)已知等比数列{an}满足a1=1,a3·
a5=4(a4-1),则a7的值为( )
A.2B.4C.D.6
解析 根据等比数列的性质得a3a5=a,∴a=4(a4-1),即(a4-2)2=0,解得a4=2.
又∵a1=1,a1a7=a=4,∴a7=4.
答案 B
5.(2018·
北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )
A.fB.fC.fD.f
解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f,公比为的等比数列,设此数列为{an},则a8=f,即第八个单音的频率为f.
6.(2015·
全国Ⅰ卷)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.
解析 由an+1=2an,知数列{an}是以a1=2为首项,公比q=2的等比数列,由Sn==126,解得n=6.
答案 6
考点一 等比数列基本量的运算
【例1】
(1)(2017·
全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=________.
(2)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8=________.
解析
(1)由{an}为等比数列,设公比为q.
由得
显然q≠1,a1≠0,
得1-q=3,即q=-2,代入①式可得a1=1,
所以a4=a1q3=1×
(-2)3=-8.
(2)设数列{an}首项为a1,公比为q(q≠1),
则解得
所以a8=a1q7=×
27=32.
答案
(1)-8
(2)32
规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;
当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.
【训练1】
(1)等比数列{an}中各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=( )
A.9B.15C.18D.30
(2)(2017·
北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=________.
解析
(1)设数列{an}的公比为q(q>
0),
则
解得q=2,a1=2,所以S4==30.
(2){an}为等差数列,a1=-1,a4=8=a1+3d=-1+3d,∴d=3,∴a2=a1+d=-1+3=2.{bn}为等比数列,b1=-1,b4=8=b1·
q3=-q3,∴q=-2,∴b2=b1·
q=2,则==1.
答案
(1)D
(2)1
考点二 等比数列的判定与证明
【例2】(2016·
全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
(1)证明 由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,
得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan,
由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.
因此{an}是首项为,公比为的等比数列,
于是an=.
(2)解 由
(1)得Sn=1-.
由S5=,得1-=,即=.
解得λ=-1.
规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;
若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时,要注意对n=1的情形进行验证.
【训练2】(2019·
营口重点协作校模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.
(1)证明:
{Sn-n+2}为等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
(1)证明 因为an=Sn-Sn-1(n≥2),
所以Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2),
则Sn=2Sn-1-n+4(n≥2),
所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2](n≥2),
又由题意知a1-2a1=-3,
所以a1=3,则S1-1+2=4,
所以{Sn-n+2}是首项为4,公比为2等比数列.
(2)解 由
(1)知Sn-n+2=2n+1,
所以Sn=2n+1+n-2,
于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n
=+-2n=.
考点三 等比数列的性质及应用
【例3】
(1)等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( )
A.12B.10C.8D.2+log35
(2)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=( )
A.40B.60C.32D.50
解析
(1)由等比数列的性质知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18,所以a5a6=9,则原式=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=10.
(2)数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是首项为4,公比为2的等比数列,则S9-S6=a7+a8+a9=16,S12-S9=a10+a11+a12=32,因此S12=4+8+16+32=60.
答案
(1)B
(2)B
规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·
an=ap·
aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
【训练3】
(1)(2019·
菏泽质检)在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是( )
A.-2B.-C.±
D.
(2)(一题多解)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=________.
解析
(1)根据根与系数之间的关系得a3+a7=-4,
a3a7=2,由a3+a7=-4<
0,a3a7>
0,
所以a3<
0,a7<
0,即a5<
由a3a7=a,得a5=-=-.
(2)法一 由等比数列的性质S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,由已知得S6=3S3,
∴=,即S9-S6=4S3,S9=7S3,∴=.
法二 因为{an}为等比数列,由=3,设S6=3a,S3=a(a≠0),所以S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,即a,2a,S9-S6成等比数列,所以S9-S6=4a,解得S9=7a,
所以==.
答案
(1)B
(2)
[思维升华]
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.
(1)方程思想:
如求等比数列中的基本量.
(2)分类讨论思想:
如求和时要分q=1和q≠1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.
[易错防范]
1.特别注意q=1时,Sn=na1这一特殊情况.
2.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n未必成等比数列(例如:
当公比q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不成等比数列;
当q≠-1或q=-1时且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列),但等式(S2n-Sn)2=Sn·
(S3n-S2n)总成立.
数学运算、数学抽象——等差(比)数列性质的应用
1.数学运算是指在明析运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为:
理解数列问题,掌握数列运算法则,探究运算思路,求得运算结果.通过对数列性质的学习,发展数学运算能力,促进数学思维发展.
2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则,能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题,能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法,体会其中的数学思想.
类型1 等差数列两个性质的应用
在等差数列{an}中,Sn为{an}的前n项和:
(1)S2n-1=(2n-1)an;
(2)设{an}的项数为2n,公差为d,则S偶-S奇
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- 人教B版文科数学总复习 知识点精讲与最新习题汇第六章 第3节 人教 文科 数学 复习 知识点 最新 习题 第六