高考数列试题解析文档格式.docx
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因此,所求通项公式为
,.①6分
(Ⅱ)由①知,,
于是,当时,
,
当时,
.
又.
综上,所求的的取值范围是.12分
【说明】本题主要考查数列通项公式的求法、等比数列前n项和公式以及数列单调性的应用.作为倒数第三题,在大题中算是占据了中等的地位,起到过渡的作用.比起其他试卷的数列解答题,算是容易题了.
3.(四川卷20).(本小题满分12分)
设数列的前项和为,已知
(Ⅰ)证明:
当时,是等比数列;
(Ⅱ)求的通项公式.
由题意知,且
两式相减得
即①
(Ⅰ)当时,由①知
于是
又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知,即
当时,由由①得
因此
得
【说明】这是第一道考查“会不会”的问题.如若不会,对不起,请先绕道走.对大多数考生而言,此题是一道拦路虎.可能比压轴题还让人头痛.原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法.递推数列中对递推方法的考查,有30年历史了,现在只是陈题翻新而已.不过此题对考生有不公平之嫌.大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了.解题有套方为高啊.
4.(山东卷19)(本小题满分12分)
将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
……
记表中的第一列数构成的数列为,.为数列的前项和,且满足.
(Ⅰ)证明数列成等差数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当时,求上表中第行所有项的和.
由已知,当时,,又,
所以,
又.所以数列是首项为1,公差为的等差数列.
由上可知,.
所以当时,.
(Ⅱ)解:
设上表中从第三行起,每行的公比都为,且.
因为,
所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项,故在表中第31行第三列,
因此.又,所以.
记表中第行所有项的和为,
则.
【说明】此题改革了传统数列呈现形式,充分考查了考生采集和处理信息的能力,体现了新课程标准的理念.但其难度并不大.
5.(天津卷20)(本小题满分12分)
在数列中,,,且().
(Ⅰ)设(),证明是等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)若是与的等差中项,求的值,并证明:
对任意的,是与的等差中项.
由题设(),得
,即,.
又,,所以是首项为1,公比为的等比数列.
(Ⅱ)解法:
由(Ⅰ)
,
……
,().
将以上各式相加,得().
所以当时,
上式对显然成立.
(Ⅲ)解:
由(Ⅱ),当时,显然不是与的等差中项,故.
由可得,由得, ①
整理得,解得或(舍去).于是.
另一方面,,
.
由①可得,.
所以对任意的,是与的等差中项.
【说明】本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.
6(辽宁卷21)(本小题满分12分)
在数列,中,a1=2,b1=4,且成等差数列,成等比数列()
(Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an}、{bn}的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:
(Ⅰ)由条件得
由此可得
.2分
猜测.4分
用数学归纳法证明:
①当n=1时,由上可得结论成立.
②假设当n=k时,结论成立,即
那么当n=k+1时,
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②,可知对一切正整数都成立.7分
(Ⅱ).
n≥2时,由(Ⅰ)知.9分
综上,原不等式成立.12分
【说明】本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.第一问中猜测{an}、{bn}的通项公式是问题的瓶颈,这一步能顺利解决,后面应该就不会有问题了.
7.(安徽卷21)(本小题满分13分)
设数列满足为实数
对任意成立的充分必要条件是;
(Ⅱ)设,证明:
;
(Ⅲ)设,证明:
解
(1)必要性:
,
又,即
充分性:
设,对用数学归纳法证明
当时,.假设
则,且
,由数学归纳法知对所有成立
(2)设,当时,,结论成立
当时,
由
(1)知,所以且
(3)设,当时,,结论成立
当时,由
(2)知
【说明】考查了数列、充要条件的证明,还有不等式的证明,是一道综合大题。
本题在此卷上是难度系数大,体现了高考的选拔性功能的一道题。
8.(全国一22).(本小题满分12分)
(注意:
在试题卷上作答无效)
设函数.数列满足,.
函数在区间是增函数;
;
(Ⅲ)设,整数.证明:
故函数在区间(0,1)上是增函数;
(用数学归纳法)(i)当n=1时,,,
由函数在区间是增函数,且函数在处连续,则在区间是增函数,,即成立;
(ⅱ)假设当时,成立,即
那么当时,由在区间是增函数,得
.而,则,
,也就是说当时,也成立;
根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数,恒成立.
(Ⅲ)证明:
由.可得
1,若存在某满足,则由⑵知:
2,若对任意都有,则
,即成立.
【说明】作为全国卷的压轴题,肯定是有一定难度的,数列只是作为一个载体,其实考查的是函数,导数和不等式的知识为主.
9.(湖南卷18)(本小题满分12分)
数列
(Ⅰ)求并求数列的通项公式;
(Ⅱ)设证明:
当
解:
(Ⅰ)因为所以
一般地,当时,
=,即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列,因此
当时,
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此
故数列的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,①
②
①-②得,
所以
要证明当时,成立,只需证明当时,成立.
证法一
(1)当n=6时,成立.
(2)假设当时不等式成立,即
则当n=k+1时,
由
(1)、
(2)所述,当n≥6时,.即当n≥6时,
证法二
令,则
所以当时,.因此当时,
于是当时,
综上所述,当时,
【说明】数列与三角函数的综合,给我们的考生带来分类讨论的麻烦,第一问要有敏锐的观察力,知道怎么分类这是个得分点,既涉及等差数列,又有等比数列;
第二问是数列与不等式的结合,可以多渠道解决。
10.(江苏卷19).
(1)设a1,a2,…,an是各项均不为零的n(n≥4)项等差数列,且公差d≠0,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来顺序)是等比数列:
①当n=4时,求的数值;
②求n的所有可能值;
(2)求证:
对于给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1,b2,…,bn,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
(1)①先证命题P:
若三个数a,b,c既成等差数列、又成等比数列,则它们必为常数数列.
因为若a+c=2b,ac=b2,则,即,∴a=c,则b=a=c.
当n=4时,即a1,a2,a3,a4是各项均不为零的等差数列,且公差d≠0.
1)删去a1,则a2,a3,a4成等比数列,由命题P知,a2=a3=a4,与d≠0矛盾.
2)删去a2,则a1,a3,a4成等比数列,即a1,a1+2d,a1+3d成等比数列,
∴,则=-4.
3)删去a3,则a1,a2,a4成等比数列,即a1,a1+d,a1+3d成等比数列,
∴,则=1.
4)删去a4,则a1,a2,a3成等比数列,由命题P知,a1=a2=a3,与d≠0矛盾.
总之,=-4或1.
②假设n≥6,则无论删去哪一项,均有原数列中的连续三项既成等差数列,又成等比数列,由命题P知,假设不成立,∴n≤5.
若n=5,则由命题P知,只可能在等差数列a1,a2,a3,a4,a5中删去a3,使a1,a2,a4,a5成等比数列.
由①中3)知,d=a1,则a2=2a1,a4=4a1,a5=5a1(a1≠0),但它们不成等比数列.由此可知:
n只能为4.
(2)对于一个给定的正整数n(n≥4),设b1,b2,…,bn是一个各项及公差都不为零的等差数列,不妨设bt,bt+sd,bt+kd是它们其中的任意三项(1≤t≤n-2,1≤s<k≤n-t,且t,s,k∈N*),
要使这三项不成等比数列,即不成立,即使不成立.
(由此可见,只要k不能为正整数,可使为小数,或无理数……)
如取d=1,,∵s2<n2,∴∈(0,1),则不成立.
以上可见,n2,n2+1,n2+2,…,n2+n-1中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列,即它是一个符合题意的等差数列.
【说明】第
(1)问的解答关键在于认识命题P,这是认识等差数列与等比数列的一个基本问题,其中第②问通过检验而排除n=5.第
(2)问要求考生通过分析构造出符合题意的一种数列,由于平时考生对构造性问题研究相对较少,尽管新课标中倡导培养学生的创造能力,但由于高中数学学习内容较多(理科学生除学习改修1,2,3,4,5外,还须学习选修2系列中的1,2,3三个系列,另外还要在选修4中的4个模块中选修2个),因此,学生的研究性学习的时间较少,此类问题在高考命题中出现,从学生的学习及人的发展来说,确实是一件好的现象。
这也说明,要使学生的学习在“质”上有所飞跃,我们还必须考虑如何在“数”上有所控制。
11.(陕西卷22)(本小题满分14分)
已知数列的首项,,.
(Ⅰ)求的通项公式;
对任意的,,;
(Ⅲ)证明:
解法一:
(Ⅰ),,,
又,是以为首项,为公比的等比数列.
,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,原不等式成立.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的,有
取,
原不等式成立.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设,
则
当时,;
当时,,
当时,取得最大值.
(Ⅲ)同解法一.
【说明】数列、不等式、导数三者合一的解答题,又是陕西卷的压轴题,当然不会那么轻易得分。
第一问求通项公式就给学生制造了障碍,而后两问,是紧扣前一问的,所以第一问没有做出来,后面的分数也得不到.
12.(重庆卷22)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)
设各项均为正数的数列{
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