高中数学人教A版选修41学业分层测评章末综合测评1含答案解析Word文件下载.docx
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【答案】 C
3.如图3所示,将△ABC的高AD三等分,过每一分点作底面平行线,这样把三角形分成三部分,则这三部分的面积为S1,S2,S3,则S1∶S2∶S3等于( )
图3
A.1∶2∶3B.2∶3∶4
C.1∶3∶5D.3∶5∶7
【解析】 如图所示,E,F分别为△ABC高AD的三等分点,过点E作BC的平行线交AB,AC于点M,N,过点F作BC的平行线交AB,AC于点G,H.△AMN∽△ABC,=,∴S1=S△ABC.
又△AGH∽△ABC,=,S△AGH=S1+S2,
∴S1+S2=S△ABC,
∴S2=S△ABC,∴S3=S△ABC,
∴S1∶S2∶S3=1∶3∶5,故选C.
4.如图4,在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,BD=3CE,DE交BC于F,则DF∶FE等于( )
图4
A.5∶2B.2∶1
C.3∶1D.4∶1
【解析】 过D作DG∥AC,交
BC于G,
则DG=DB=3CE,
即CE∶DG=1∶3.
易知△DFG∽△EFC,
∴DF∶FE=DG∶CE,
所以DF∶FE=3∶1.
5.如图5所示,梯形ABCD的对角线交于点O,则下列四个结论:
图5
①△AOB∽△COD;
②△AOD∽△ACB;
③S△DOC∶S△AOD=CD∶AB;
④S△AOD=S△BOC.
其中正确的个数为( )
A.1B.2
C.3 D.4
【解析】 ∵DC∥AB,∴△AOB∽△COD,①正确.由①知,=.S△DOC∶S△AOD=OC∶OA=CD∶AB,③正确.
∵S△ADC=S△BCD,
∴S△ADC-S△COD=S△BCD-S△COD,
∴S△AOD=S△BOC,④正确.
故①③④正确.
【答案】 C
6.如图6所示,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高( )
图6
A.11.25mB.6.6m
C.8mD.10.5m
【解析】 本题是一个实际问题,可抽象为如下数学问题:
如图,等腰△AOC∽等腰△BOD,OA=1m,OB=16m,高CE=0.5m,求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB=CE∶DF,即1∶16=0.5∶DF,解得DF=8m.
7.如图7所示,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,S矩形=40cm2,S△ABE∶S△DBA=1∶5,则AE的长为( )
图7
A.4cmB.5cm
C.6cmD.7cm
【解析】 ∵∠BAD=90°
,AE⊥BD,
∴△ABE∽△DBA.
∴S△ABE∶S△DBA=AB2∶DB2.
∵S△ABE∶S△DBA=1∶5,
∴AB2∶DB2=1∶5,
∴AB∶DB=1∶.
设AB=k,DB=k,则AD=2k.
∵S矩形=40cm2,∴k·
2k=40,
∴k=2,
∴BD=k=10,AD=4,
S△ABD=BD·
AE=20,即×
10·
AE=20,
∴AE=4cm.
【答案】 A
8.如图8,把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置,它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半,若AB=,则此三角形移动的距离AA′是( )
图8
A.-1B.
C.1D.
【解析】 由题意可知,阴影部分与△ABC相似,且等于△ABC面积的,∴A′B∶AB==1∶.
又∵AB=,∴A′B=1,
∴AA′=-1.
9.如图9所示,在Rt△ABC中,∠A=30°
,∠C=90°
,CD⊥AB于D,则BD∶AD=( )
图9
A. B.
C.D.
【解析】 设CD=,则AD=3,BD=1,∴=.
10.已知圆的直径AB=13,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D(AD>
BD),若CD=6,则AD的长为( )
A.8B.9
C.10D.11
【解析】 如图,连接AC,CB.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
.
设AD=x,∵CD⊥AB于D,
由射影定理得CD2=AD·
DB,
即62=x(13-x),∴x2-13x+36=0,
解得x1=4,x2=9.
∵AD>
BD,∴AD=9.
11.某社区计划在一块上、下底边长分别是10米,20米的梯形空地上种植花木(如图10所示),他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花,当△AMD地带种满花后,已经花了500元,请你预算一下,若继续在△BMC地带种植同样的太阳花,还需资金( )
图10
A.500元B.1500元
C.1800元D.2000元
【解析】 在梯形ABCD中,AD∥BC,∴△AMD∽△BMC,
AD=10m,BC=20m,
=2=,
∵S△AMD=500÷
10=50(m2),∴S△BMC=200m2,
则还需要资金200×
10=2000(元).
【答案】 D
12.如图11所示,将一个矩形纸片BADC沿AD和BC的中点连线EF对折,要使矩形AEFB与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比应为( )
图11
A.1∶B.1∶
C.∶1D.∶1
【解析】 ∵矩形AEFB∽矩形ABCD,∴BF∶AB=AB∶AD.
∵BF=AD,∴AB2=AD2,∴AD∶AB=∶1.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在题中横线上)
13.如图12,已知DE∥BC,且BF∶EF=4∶3,则AC∶AE=________.
图12
【解析】 ∵DE∥BC,
同理=,
∴===.
【答案】 4∶3
14.如图13,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度AB等于________米.
图13
【解析】 如图,GC⊥BC,AB⊥BC,∴GC∥AB.
∴△GCD∽△ABD,∴=.
设BC=x,则=,同理,得=.
∴=,∴x=3,∴=,
∴AB=6(米).
【答案】 6
15.如图14所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,BE是AC边上的中线,且AD,BE交于点G,那么=________.
图14
【解析】 ∵AD,BE是△ABC的中线,且AD交BE于G,
∴G是△ABC的重心,∴=,
又∵D为BC的中点,∴=,∴=.
【答案】
16.如图15,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则DE=________.
图15
【解析】 法一:
因为AB=,BC=3,所以AC==2,tan∠BAC==,所以∠BAC=.在Rt△BAE中,AE=ABcos=,则CE=2-=.在△ECD中,DE2=CE2+CD2-2CE·
CDcos∠ECD=2+()2-2×
×
=,故DE=.
法二:
如图,作EM⊥AB交AB于点M,作EN⊥AD交AD于点N.因为AB=,BC=3,所以tan∠BAC==,则∠BAC=,AE=ABcos=,NE=AM=AEcos=×
=,AN=ME=AEsin=×
=,ND=3-=.在Rt△DNE中,DE===.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)如图16,点E是四边形ABCD的对角线上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.
图16
(1)求证:
BE·
AD=CD·
AE;
(2)根据图形的特点,猜想可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)?
并证明你的猜想.
【解】
(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAE=∠DAC.
∵∠DAE=∠BDC,∴∠AEB=∠ADC,
∴△ABE∽△ACD,∴=,
即BE·
AE.
(2)猜想:
=.
证明:
∵由
(1)△ABE∽△ACD,∴=,
又∵∠BAC=∠EAD,∴△BAC∽△EAD,
∴=.
18.(本小题满分12分)如图17,已知正方形ABCD的边长为4,P为AB上的一点,且AP∶PB=1∶3,PQ⊥PC,试求PQ的长.
图17
【解】 ∵PQ⊥PC,
∴∠APQ+∠BPC=90°
,
∴∠APQ=∠BCP,
∴Rt△APQ∽Rt△BCP.
∵AB=4,AP∶PB=1∶3,
∴PB=3,AP=1,∴=,
即AQ===,
∴PQ===.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,∠B=25°
,AD是BC边上的高,并且AD2=BD·
DC,求∠BCA的度数.
【解】
(1)当AD在△ABC内部时,如图
(1),由AD2=BD·
DC,可得△ABD∽△CAD.
∴∠BCA=∠BAD=65°
;
(2)当AD在△ABC外部时,如图
(2),
由AD2=BD·
DC,得△ABD∽△CAD,
∴∠B=∠CAD=25°
∴∠BCA=∠CAD+∠ADC=25°
+90°
=115°
故∠BCA等于65°
或115°
20.(本小题满分12分)如图18所示,CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线,CE⊥CD,CE=,连接DE交BC于点F,AC=4,BC=3.求证:
图18
(1)△ABC∽△EDC;
(2)DF=EF.
【证明】
(1)在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,则AB=5.
∵D为斜边AB的中点,
∴AD=BD=CD=AB=2.5,
∴===,∴△ABC∽△EDC.
(2)由
(1)知,∠B=∠CDF,
∵BD=CD,∴∠B=∠DCF,
∴∠CDF=∠DCF.
∴DF=CF.①
由
(1)知,∠A=∠CEF,∠ACD+∠DCF=90°
,∠ECF+∠DCF=90°
∴∠ACD=∠ECF.由AD=CD,得∠A=∠ACD.
∴∠ECF=∠CEF,
∴CF=EF.②
由①②,知DF=EF.
21.(本小题满分12分)已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,直线MN是梯形的对称轴,P是MN上的一点,直线BP交直线DC于F,交CE于E,且CE∥AB.
(1)若点P在梯形内部,如图19
(1).
求证:
BP2=PE·
PF.
(2)若点P在梯形的外部,如图19
(2),那么
(1)的结论是否成立?
若成立,请证明;
若不成立,请说明理由.
(1)
(2)
图19
【解】
(1)证明:
连接PC,因为MN是梯形ABCD的对称轴,所以PB=PC,
∠PBC=∠PCB.
因为梯形ABCD是等腰梯形,
所以∠ABC=∠DCB,
即∠ABP+∠PBC=∠PCB+∠DCP,
所以∠ABP=∠DCP.
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