全国通用高中数学一题多解三角函数Word文档格式.docx
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所以,此时即
所以,又因为当时,取最大值,
故,即,解得,故
由柯西不等式有
当且仅当,即当时,等号成立,即当时,取得最大值.故
由已知,令
则,,如图当直线与圆相切时,取最大值.当时,取得最大值.故
解法五:
因为,其中
所以由已知,其中
化简,所以,
所以.
解法六:
因为,其中,
依题意有,所以,
所以,,
【试题1】2015江苏14.设向量,则的值为▲.
解法1:
所以得
注意到:
的周期均为6,易得,
又。
所以得=
解法2:
故=
而函数的图象分别关于(1,0)和(7,0)对称,函数图象关于点对称,因此
设
则,
所以==.
(2012年浙江卷理科第4题)把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是
解法1:
把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
得到y1=cosx+1,向左平移1个单位长度得到y2=cos(x—1)+1,再向下平移1个单位长度
得到y3=cos(x—1).令x=0,得到y3>0;
x=,得到y3=0;
结合图像,选择答案A.
赏析1:
用三角函数图像变换的思想解题,好!
但还是没有把握图像变换之根本,请看解法2。
解法2:
(利用求曲线方程的方法)设为所求曲线上的任意一点,则向上平移1
个单位长度得到点,再向右平移1个单位长度得到点,最后把图像上
所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到点,该点满足方程
y=cos2x+1,代入得到即为所求。
因为;
,所以选择答案A.
赏析1:
三角函数图像的变换问题,本质上就是函数图像的组成单位点的变换问题(注
意相对运动),这是图像变换之根本,变换教学之本质。
【试题1】2012年四川卷理科第4题:
如图,正方形的边长为1,延长至,使,连接、,则().
....
.
在中,运用正弦定理可得:
解法3:
在中,运用余弦定理可得:
解法4:
设线段AD与CE相交于点F,在中,运用正弦定理可得:
解法5:
设线段AD与CE相交于点F,在中,运用余弦定理可得
解法6:
设线段AD与CE相交于点F,因为为的中点,利用同底同高的三角形面积相等,则有
解法7:
解法8:
以为原点,所在直线为轴来建系,可得,,则
解法9:
如解法8所建系,则,,于是
故本题答案为.
赏析:
【试题1】2015年北京理科第15题已知函数
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
解:
(Ⅰ)设的最小正周期为,则对任意的,都有,即
两边化简得
即恒成立,所以.
(Ⅱ)因为
所以
令,因为,所以
解得;
解得
所以在上单调递减,在上单调递增
可得在处取得最小值
故在上的最小值为.
【试题1】:
求的值.
因为40°
=30°
+10°
,
所以原式=
.
解法2原式=
解法3令
得
则原式=.
解法4设
则
所以,故.
解法5由余弦定理,得,
又由正弦定理,得,
于是,
故
得,
平方得2=,,
,原式=-
=,
由已知得,
原式=-
=coscos-sinsin=-又=-,=7,原式=-
【试题1】在中,内角所对的边分别是.已知,边上的中线长为4.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)求面积的最大值.
解(Ⅰ)由及正弦定理得,
所以,故,
所以,由余弦定理得,解得.
(Ⅱ)【解法1】由知,及,解得.
所以的面积.
由基本不等式得,当且仅当时,等号成立.
所以面积的最大值为.
【解法2】设,
【解法3】如图建系,设则中点
则中线长
【解法4】如图,G为的重心,则设
【解法5】由,,知C的轨迹为阿波罗尼斯圆,圆心在直线AD上,半径为,则
【试题1】,求函数的最大值________.
解法1,
,
所以函数在为减函数,
所以存在唯一实数使得且满足,
所以在上为增函数,在上为减函数,
解法2
当且仅当时,不等式取等号。
【试题1】在中,,点为斜边上一点,且.
(1)若,求的值;
(2)若,求角的正弦值.
(1)解法1依点为原点,所在直线为轴建系,可得.
得,所以.
解法2过点作,交于点,延长交于点.
依角平分线定理知,所以,
所以,.
所以.
(2)解法1,
在中,,而,
所以,所以,所以.
解法2在中,,
因为,所以,所以,
解法3在和中使用余弦定理得,
所以,所以,所以,
解法4因为,所以
所以,所以,
满足条件的的面积的最大值是
解法1以所在的直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设,由,得到点的轨迹方程为,即.轨迹上的点到的最远距离是,所求面积为.
如图,过作的延长线于.设,则,又,由此可得
,从而,
解法3设,则,
【试题1】在中,,则的最大值为____________.
由余弦定理得即
设则
代入整理得
解法2由余弦定理得即
设,由对应项系数相等得
解之得
解法3有正弦定理得
其中当时取最大值
题目8:
在中,,则面积的最大值为____________.
解法1由余弦定理得即
所以,整理得
所以
解法2以中点为原点,所在直线为轴,建立直角坐标系,设有已知得
化简得
又
解法3由可得点的轨迹是如图以为直径的圆去掉(两点),其中易知圆的半径为,
。
题目9:
解法1原式
由,得
设
则
故为常数,所以
求的值
原式;
原式=;
在△ABC中,若,则△ABC的形状是________
【边化角】∵∴
∴∴
∴或,即或,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
【角化边】
化简得
∴或∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
(11年哈三中等四校一模17)已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)已知中,角所对的边长分别为,若,,求的面积.
(Ⅰ)
令,得,
∴函数的单调递增区间为
(Ⅱ),,
【先求角后用范围】,因为所以或,
【先看范围后求角】因为所以,所以或
又,故
【正弦定理求角】由,得,则,,
【余弦定理求边】由得c=1,
(2014·
烟台一模)已知,且满足.
(1)将表示为的函数,并求的最小正周期;
(2)已知分别为△ABC的三个内角对应的边长,的最大值是,且,求的取值范围.
解
(1)由,得,
即
所以,其最小正周期为.
(2)由题意得,所以,因为,所以.
【转化为三角函数求最值】由正弦定理,得,
又因为,所以,所以,
所以的取值范围是.
【基本不等式】由、得即
因为所以解得
又(两边之和大于第3边),所以的取值范围是
【试题1】中,为边上的一点,,,,求.
解法1
由题意可得,.
从而
.
由正弦定理得,所以.
解法2
由题意可得,.从而.
由正弦定理得,所以.
又由余弦定理知,将代入此式,可得:
求解该一元二次方程,得.
解法3
过作的垂线,垂足为,则
所以.
解法4
过作的垂线,垂足为,则
.
而且,
,从而.
解法五5
解法5过作的垂线,垂足为.设,则由可得
.这样,.
再由,得.
解法6
过作的垂线,垂足为.
由,可设.
.
即,解得.从而.
解法7
过作的垂线,垂足为;
则与相似,这样.
又,可设.
由得:
.
因此,解得.
从而.
题目16:
解法四4
解法5
题目17:
函数的最大值是________.
【反表示法】由,得,即
,所以.因为,所以,解得,所以所求最大值为.
【几何意义法】因为,由此可把函数理解为点到点的直线斜率的2倍,而的点的集合为单位圆,易知过点的直线的斜率不存在时,不与圆相切.设此直线的方程为,圆心到直线的距离为,解得或,所以函数的最大值是.
(2015重庆卷理科第13题)在△ABC中,B=,AB=,A的角平分线AD=,则AC=______
解法1在中,,得,得,易得为等腰三角形,得,,得。
解法2过点作的平行线与的延长线交于点,由解法一得,,,中由正弦定理得,有,代入数据得。
解法3过点作的垂线与的延长线交于点,,得,由内角和,得,进而,
,得。
解法4如图,以B点为原点,以BA所在直线为轴建立平面直角坐标系,则,的方程为,设,由,解得,则的斜率为,于是,故的方程为,与联立得,故.
题目20:
已知的内角,面积满足所对的边,则下列不等式成立的是()
A.B.C.D.
解法1解:
已知变形为
展开整理得
而
故,故,
排除,因为,所以,选择.
解法2由题意知,又,即.
知.
选项A:
正确;
B、C、D易知不符.
解法3由,和差化积有
故,,
,,.选项A.
在中,,边满足,求的值.
因为,,
所以,即
即.
因为,所以
,即
【射影定理】
,,
代入得:
【正弦定理】
【试题1】已知函数在区间上的最大值、最小值分别为,则.
因为当时函数有意义,且定义域关于原点对称,
∴.
令,易证是奇函数,
则关于点对称,故.
(全国)函数的图像,只需把函数的图像
向左平移个长度单位向右平移个长度单位
的图像的图像
解法2的图像的
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- 全国 通用 高中数学 一题多解 三角函数