全国通用届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形41任意角弧度制及任意角的三角函数学案Word文档下载推荐.docx

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（2）角度制和弧度制的互化：

180°

＝πrad,1°

＝rad，1rad＝°

.

（3）扇形的弧长公式：

l＝|α|·

r，扇形的面积公式：

S＝lr＝|α|·

r2.

3．任意角的三角函数

任意角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，

则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝（x≠0）．

三个三角函数的性质如下表：

三角函数

定义域

第一象限符号

第二象限符号

第三象限符号

第四象限符号

sinα

R

＋

－

cosα

tanα

{α|α≠kπ＋，k∈Z}

4.三角函数线

如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1,0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.

三角函数线

有向线段MP为正弦线；

有向线段OM为余弦线；

有向线段AT为正切线

知识拓展

1．三角函数值的符号规律

三角函数值在各象限内的符号：

一全正、二正弦、三正切、四余弦．

2．任意角的三角函数的定义（推广）

设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝（x≠0）．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（　×

　）

（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．（　√　）

（3）不相等的角终边一定不相同．（　×

（4）若α为第一象限角，则sinα＋cosα>

1.（　√　）

题组二　教材改编

2．[P10A组T7]角－225°

＝________弧度，这个角在第________象限．

答案　－　二

3．[P15T2]设角θ的终边经过点P（4，－3），那么2cosθ－sinθ＝________.

答案　

解析　由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－，cosθ＝，所以2cosθ－sinθ＝2×

－＝.

4．[P10A组T6]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．

题组三　易错自纠

5．（2018·

秦皇岛模拟）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（　　）

A．2kπ＋45°

（k∈Z）B．k·

＋（k∈Z）

C．k·

－315°

（k∈Z）D．kπ＋（k∈Z）

答案　C

解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．

6．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（　　）

解析　当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；

当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.

7．已知角α（－π<

α<

0）的终边与单位圆交点的横坐标是，则sinα＝________.

答案　－

解析　由题意得，角α的终边与单位圆交点的坐标是，∴sinα＝－.

8．（2018·

济宁模拟）函数y＝的定义域为______________．

答案　（k∈Z）

解析　∵2cosx－1≥0，

∴cosx≥.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示），

∴x∈（k∈Z）．

题型一　角及其表示

1．设集合M＝，N＝，那么（　　）

A．M＝NB．M⊆N

C．N⊆MD．M∩N＝∅

答案　B

解析　由于M中，x＝·

＋45°

＝k·

90°

＝（2k＋1）·

45°

，2k＋1是奇数；

而N中，x＝·

＝（k＋1）·

，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.

2．若角α是第二象限角，则是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角

解析　∵α是第二象限角，

∴＋2kπ<

π＋2kπ，k∈Z，

∴＋kπ<

<

＋kπ，k∈Z.

当k为偶数时，是第一象限角；

当k为奇数时，是第三象限角．

∴是第一或第三象限角．

3．（2018·

宁夏质检）终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为________．

解析　如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0,2π）内，终边在直线y＝x上的角有两个：

，π；

在[－2π，0）内满足条件的角有两个：

－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.

思维升华

（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．

（2）确定kα，（k∈N*）的终边位置的方法

先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．

题型二　弧度制

典例

（1）（2017·

珠海模拟）已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是（　　）

A．2B．1C.D．3

答案　A

解析　设扇形的半径为R，则弧长l＝4－2R，

∴扇形面积S＝lR＝R（2－R）

＝－R2＋2R＝－（R－1）2＋1，

当R＝1时，S最大，此时l＝2，扇形圆心角为2弧度．

（2）若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．

解析　设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为r，∴圆心角的弧度数是＝.

思维升华应用弧度制解决问题的方法

（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．

（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

跟踪训练　

（1）（2018·

湖北七校联考）若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（　　）

A.B.

C．3D.

答案　D

解析　如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，

作OM⊥AB，垂足为M，

在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，

∴AM＝r，AB＝r，

∴l＝r，

由弧长公式得α＝＝＝.

（2）已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP（如图），则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．

答案　S1＝S2

解析　设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，

则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，

∴S1＝tm·

r－S扇形AOB，

S2＝tm·

∴S1＝S2恒成立．

题型三　三角函数的概念及应用

命题点1　三角函数定义的应用

典例

（1）（2018·

山东重点中学模拟）已知角α的终边过点P（－8m，－6sin30°

），且cosα＝－，则m的值为（　　）

A．－B.

C．－D.

解析　∵r＝，

∴cosα＝＝－，

∴m>

0，∴＝，即m＝.

（2）设θ是第三象限角，且＝－cos，则是（　　）

C．第三象限角D．第四象限角

解析　由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，

∵＝－cos，∴cos<

0，

综上知，为第二象限角．

命题点2　三角函数线的应用

典例函数y＝lg（2sinx－1）＋的定义域为__________________．

解析　要使原函数有意义，必须有

即如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为

（k∈Z）．

思维升华

（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；

已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．

（2）利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．

跟踪训练　

（1）（2017·

济南模拟）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析　∵tanα<

0，cosα<

∴α在第二象限．

（2）（2017·

石家庄模拟）若－<

－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是（　　）

A．sinα<

tanα<

cosαB．cosα<

sinα<

C．sinα<

cosα<

tanαD．tanα<

解析　如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，

观察可知sinα<

tanα.

数形结合思想在三角函数中的应用

典例

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C（2,1）时，的坐标为________．

合肥调研）函数y＝lg（3－4sin2x）的定义域为________．

思想方法指导　在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．

解析　

（1）如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2，

则∠PCB＝2－，所以PB＝sin＝－cos2，

CB＝cos＝sin2，设点P（xP，yP），

所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，

所以＝（2－sin2,1－cos2）．

（2）因为3－4sin2x＞0，

所以sin2x＜，

所以－＜sinx＜.

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示），

所以x∈（k∈Z）．

答案　

（1）（2－sin2,1－cos2）

（2）（k∈Z）

1．角－870°

的终边所在的象限是（　　）

解析　由－870°

＝－1080°

＋210°

，知－870°

角和210°

角的终